Дискретная математика
(1 семестр)
Кафедра КСУП
Томск-2000

№ 1
Для каждого множества, определенного с помощью формы, указать соответствующее определение без формы.

1) {x|x ⊆ {{1},1}};	{∅,{1},{{1}},{{1},1}};
2) {x|x ⊆ {{∅},1}};	{∅,{{∅}},{1},{{∅},1}};
3) {x|x ⊆ {{1},∅}};	{∅,{∅},{{1}},{{1},∅}};
4) {x|x ⊆ {{∅},∅}}.	{∅,{∅},{{∅}},{{∅},∅}}.

№ 2
Для каждого множества, определенного с помощью формы, указать соответствующее определение без формы.

1) {x|x ⊆ {{1},1}};	{∅,{1},{{1}},{{1},1}};
2) {x|x ⊆ {{2},1}};	{∅,{{2}},{1},{{2},1}};
3) {x|x ⊆ {{1},2}};	{∅,{2},{{1}},{{1},2}};
4) {x|x ⊆ {2,1}}.	{∅,{1},{{2}},{2,1}}.

№ 3
Какой символ ⊆ или ∈ (вместо ?) надо вставить между множествами, чтобы получилось истинное высказывание?
а) {1,2} ? {3,{1},2} - нельзя вставить ни ⊆, ни ∈;
б) {∅} ? {∅,{∅}} - можно вставить как ∈, так и ⊆;
в) ∅ ? ∅ - символ ⊆.

№ 4
Какой символ ⊆ или ∈ (вместо ?) надо вставить между множествами, чтобы получилось истинное высказывание?
а) {1} ? {{1}} - символ ∈;
б) {∅,1} ? {{1},1} - нельзя вставить ни ∈, ни ⊆;
в) ∅ ? {∅} - можно вставить как ∈, так и ⊆.

№ 5
Какой символ ⊆ или ∈ (вместо ?) надо вставить между множествами, чтобы получилось истинное высказывание?
а) {1,2} ? {1,2,{{1,2}}} - символ ⊆;
б) {1} ? {1,2,{1},{2}} - можно вставить как ∈, так и ⊆;
в) {∅} ? {∅} - символ ⊆.

№ 6
Существуют ли (с “наивной” точки зрения) три множества А, В, С (не обязательно различные) такие, что А∈B, B∈C , C∈А?
• да.

№ 7
Какие из следующих высказываний истинны?
• 432∈{x ∈N|x делится на 18};
• 0∈{x∈R|(∃y∈R) x=y²+3y-2}.

№ 8
Сколько элементов во множестве {x∈R|x²-3x+2=0}?
• 2

№ 9
Сколько элементов во множестве {x∈R|x²+1=0}?
• 0

№ 10
Пусть А - множество всех двухзначных натуральных чисел, делящихся на 5; В - множество всех двухзначных натуральных чисел, не делящихся на 10. Сколько элементов во множестве А∩В?
• 9

№ 1
Пусть N - множество натуральных чисел {1,2,3,...}.
Сколько элементов во множестве {x∈N, 0≤x ≤20|(∃n ∈N) x=2n}?
• 10

№ 2
Пусть N - множество натуральных чисел {1,2,3,...}.
Множество А равно {x∈N, 0≤x≤10|(∃n ∈N, ∃m ∈N) x=n²+m²}. Сколько элементов во множестве А?
• 4

№ 3
Пусть А - множество всех последовательностей, содержащих все числа 1,2,3,4, и только эти числа, в которых четные и нечетные числа чередуются. элементов во множестве А?
• 8

№ 4
Пусть N - множество натуральных чисел {1,2,3,...}. Сколько элементов во множестве {x∈N,100≤x ≤999|сумма цифр равна 3}?
• 6

№ 5
Пусть N - множество натуральных чисел {1,2,3,...} и R - множество вещественных чисел. Какие множества бесконечны?
• {x∈N|x²-5x+4>0};
• {x∈N|x делится на 24};
• {x∈R|(∃y ∈N) 2x+3y=24}.

№ 6
Пусть N - множество натуральных чисел {1,2,3,...} и R - множество вещественных чисел. Какие множества конечны?
• {x∈R|x²-5x+4=0}.

№ 7
Равны ли следующие множества?
1) {2,4,5} и {2,4,2,5} - да;
2) {1,2} и {{1,2}} - нет;
3) {1,2,3} и {3,1,2} - да.

№ 8
Равны ли следующие множества?
1) {1,2,3} и {{1},{2},{3}} - нет;
2) {{1,2},3} и {1,{2,3}} - нет.

№ 9
Пусть Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел и R - множество вещественных чисел. Равны ли следующие множества?
1) {x∈R|x²-2x-2=0} и {x∈Q|x²-2x-2=0} - нет;
2) {x∈Z|x делится на 4 и на 6} и {x∈Z|x делится на 24} - нет;
3) {x∈Z|x делится на 4 и 15} и {x∈Z|x делится на 20 и на 30} - да.

№ 10
Пусть Z - множество целых чисел и R - множество вещественных чисел. Равны ли следующие множества?
1) {x∈Z|x делится на 12} и {x∈Z|x² делится на 12} - нет;
2) {x∈Z|x делится на 15} и {x∈Z|x² делится на 15} - да;
3) {x∈R|6≤x ≤5} и ∅ - да.

№ 1
Пусть R - множество вещественных чисел. Какие из следующих высказываний истинны?
• {x∈R|x²-5x+4=0}⊆{x∈R|x²-5x+4≥0};
• {x∈R|x²+x+2=0}⊆∅.

№ 2
Сколько элементов в каждом из следующих множеств?
1) {x|x⊆{1}} - 2 элемента;
2) {x|x⊆{1,2,3}} - 8 элементов;
3) {x|x⊂{1,2}} - 3 элемента;
4) {x|x⊂∅} - 0 элементов.

№ 3
Пусть А={1,2,4}, B={3,2,6,9}, U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - универсальное множество. Определите количество элементов во множествах А∪В, А∩В, А\\В, В\\А, А+B,A,В.
Ответ: (6,1,2,3,5,7,6)

№ 4
Пусть А={2,3,5}, B={1,3,2,6,0}, U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - универсальное множество. Определите количество элементов во множествах А∪В, А∩В, А\\В, В\\А, А+B,A,В.
Ответ: (6,2,1,3,4,7,5)

№ 5
Пусть А={0≤x≤10|x делится на 2}, B={0≤x≤10|x делится на 3}, U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} - универсальное множество. Определите количество элементов во множествах А∪В, А∩В, А\\В, В\\А, А+B,A,В.
Ответ: (8,2,4,2,6,5,7)

№ 6
Пусть А={0≤x≤10|x делится на 2}, B={0≤x≤10|x делится на 5}, U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} - универсальное множество. Определите количество элементов во множествах А∪В, А∩В, А\\В, В\\А, А+B,A,В.
Ответ: (7,2,4,1,5,5,8)

№ 7
Верно ли, что:
1) А∪В=А∪С⇒В=С - нет;
2) А∩В=А∩С⇒В=С - нет.

№ 8
Верно ли, что:
1) (А\\В)∪В=А - нет;
2) (А∪В)\\В=А - нет;
3) (А∩В)\\А=∅ - да.

№ 9
Сколько элементов во множестве АхВ:
1) А={1,2}, B={1,2,3} - 6 элементов;
2) A={1}, B={1,2,3} - 3 элемента;
3) A=∅, B={1,2} - 0 элементов.

№ 10
Сколько элементов в бинарном отношении ρ:
1) xρy⇔x<y на множестве А={1,2,3,4} - 6 элементов;
2) xρy⇔х делится нацело на y на множестве A={5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} - 15 элементов;
3) xρy⇔y=x+1 на множестве A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} - 9 элементов.

№ 1
Сколько элементов в бинарном отношении ρ:
1) xρy⇔x>y на множестве А={0,1,2} - 3 элемента;
2) xρy⇔ х ≠y и x делится нацело на y на множестве A={2,3,4,5,6,7} - 3 элемента;
3) xρy⇔y=x-1 на множестве A={5,6,7,8,9,14,15} - 5 элементов.

№ 2
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={1,2,7,4,5}, B={{1},{1,2},{2,5},3}, аρХ⇔ а∈Х.
Введите два числа (сначала количество элементов D_ρ, потом в R_ρ).
Ответ: (3,3)

№ 3
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={0,2,7,4,5}, B={{1},{1,2},{2,5},3,{6,10}}, аρХ⇔ а∈Х.
Ответ: (2,2)

№ 4
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={1,2,7,4,5}, B={{1},{1,2},{2,5},3}, аρХ⇔ а∉Х.
Ответ: (5,4)

№ 5
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={0,2,7,4,5}, B={{1},{1,2},{2,5},3,{6,10}}, аρХ⇔ а∉Х.
Ответ: (3,3)

№ 6
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={1,2,3,4,5}, B={12,16}, аρb⇔b делится на а.
Ответ: (4,2)

№ 7
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={2,3,4,5}, B={13,16}, аρb⇔b делится на а.
Ответ: (2,1)

№ 8
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={2,3,4,5}, B={12,16,17}, аρb⇔b не делится на а.
Ответ: (4,3)

№ 9
Для бинарного отношения ρ между элементами множеств А и В найдите количество элементов в области определения D_ρ и количество элементов в области значений R_ρ:
A={2,3,4,5}, B={13,16}, аρb⇔b не делится на а.
Ответ: (4,2)

№ 10
Пусть множество А и В содержат по два элемента.
Сколько всего различных отображений А в В? - 4;
Сколько всего различных сюръективных отображений А в В? - 2;
Сколько всего различных инъективных отображений А в В? - 2;
Сколько всего различных биективных отображений А в В? - 2.

№ 1
Пусть множество А и В содержат два и три элемента соответственно.
Сколько всего различных сюръективных отображений А в В? - 0;
Сколько всего различных инъективных отображений А в В? - 6;
Сколько всего различных биективных отображений А в В? - 0.

№ 2
Пусть дано множество А={1,2}. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности Хρ Y⇔ X и Y имеют одинаковое количество элементов. Сколько классов эквивалентности порождает данное отношение?
Ответ: (3)

№ 3
Пусть дано множество А={2,3,5,7,11,13,17,19}. Пусть на множестве A задано отношение эквивалентности mρ n⇔ m и n имеют одинаковые последние цифры. Сколько классов эквивалентности порождает данное отношение? Введите число.
• 6

№ 4
Пусть дано множество А={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности mρ n⇔ m - n делятся на 3. Сколько классов эквивалентности порождает данное отношение?
• 3

№ 5
Пусть дано множество А={1,2}. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности Xρ Y⇔ X и Y имеют одинаковое количество элементов. Сколько элементов содержит класс эквивалентности [{1}]?
• 2

№ 6
Пусть дано множество А={2,3,5,7,11,13,17,19}. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности mρ n⇔ m и n имеют одинаковые последние цифры. Сколько элементов содержит класс эквивалентности [19]?
• 1

№ 7
Пусть дано множество А={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности mρ n⇔ m - n делятся на 3. Сколько элементов содержит класс эквивалентности [10]?
• 3

№ 8
Пусть дано отношение {‹1,2›,‹2,1›,‹1,1›}.
Является ли это отношение частичным порядком? - нет;
Является ли это отношение линейным порядком? - нет.

№ 9
Пусть дано отношение {‹2,1›,‹1,1›,‹2,2›}.
Является ли это отношение частичным порядком? - да;
Является ли это отношение линейным порядком? - да.

№ 10
Пусть дано отношение {‹1,3›,‹2,3›,‹1,1›,‹2,2›,‹3,3›}.
Является ли это отношение частичным порядком? - да;
Является ли это отношение линейным порядком? - нет.

№ 1
Дана формула логики высказываний (p V q)&((p⊃q)⊃r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=И, q=И, r=Л — Л.

№ 2
Дана формула логики высказываний ((p V q)⊃ Not()r)⊃p. Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=И, q=И, r=Л — И.

№ 3
Дана формула логики высказываний ((p⊃q)Not()p)⊃Not()r. Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — И;
3) p=И, q=И, r=Л — И.

№ 4
Дана формула логики высказываний (Not()p & r)⊃(p V q). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — И;
3) p=Л, q=И, r=Л — И.

№ 5
Дана формула логики высказываний ((p⊃q)&(r⊃q))∼(p⊃r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — И;
3) p=И, q=Л, r=Л — И.

№ 6
Дана формула логики высказываний Not()(p⊃q)&((p V Not()q)∼r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — Л;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=Л, q=И, r=Л — Л.

№ 7
Дана формула логики высказываний (p∼q)∼((p∼q)⊃r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — И;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=И, q=Л, r=Л — Л.

№ 8
Дана формула логики высказываний Not()(p V q)&((p& Not()q) V r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — Л;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=Л, q=И, r=Л — Л.

№ 9
Дана формула логики высказываний (Not()p V Not()q)&((Not()p ⊃ Not()q)⊃ Not()r). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — Л;
2) p=Л, q=Л, r=Л — И;
3) p=И, q=И, r=Л — Л.

№ 10
Дана формула логики высказываний (r∼p)⊃ Not()(r∼q). Установите ее истинное значение при следующих значениях высказываний переменных:
1) p=И, q=И, r=И — Л;
2) p=Л, q=Л, r=Л — Л;
3) p=И, q=И, r=Л — И.

№ 1
Высказывания:
• квадрат есть прямоугольник с равными сторонами;
• прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы равные;
• каждое целое число, делящееся на 4, делится на 2;
• каждое целое число, делящееся на 8, делится на 12.

№ 2
Высказывания:
• число 12 можно представить в виде суммы 12=р₁+р₂, где р₁ и р₂ - некоторые простые числа;
• √(1-5)>3.

№ 3
Это не предикаты:
1) квадрат есть прямоугольник с равными сторонами;
2) прямоугольник называется четырехугольником, у которого все углы прямые;
3) каждое целое число, делящееся на 4, делится на 2;
4) каждое целое число, делящееся на 8, делится на 12;
5) х² +2.

№ 4
Предикаты (не путайте с высказываниями):
• х²>2;
• существует такое целое число х, что x+y²=3 и ху=2;
• х делится на у.

№ 5
Не являются предикатами или высказываниями:
• х²+2;
• х/у.

№ 6
Высказывания:
• 10 - число букв в слове “математика”.

№ 7
Высказывания:
• 1 и 2 - корни квадратного уравнения х²-3х+2=0;
• синус любого числа больше этого числа;
• синус любого числа меньше 2.

№ 8
Предикаты:
• x+2>3;
• для любого х выполняется неравенство x>y.

№ 9
Предикаты:
• существует такое действительное х, что х²+ах+b=0;
• для любого х существует такой у, что xy=z.

№ 10
Не являются предикатами или высказываниями:
• х+2;
• (a+b)²;
• sinx.

№ 1
Определите свободные переменные в каждой следующей формуле (укажите количество свободных переменных в каждой формуле):
1) ∀xP(x) — 0;
2) ∀x(P(x)⊃ P(y)) — 1;
3) P(x)⊃∃yP(y) — 1;
4) ∃x(A(x)&B(x)) — 0;
5) ∃x∀y((P(x)&Q(y))⊃ R(z)) — 1;
6) ∃x∃y(P(x,y) V Q(x)) — 0.

№ 2
Определите связные переменные в каждой следующей формуле (укажите количество свободных переменных в каждой формуле):
1) ∀xP(x) — 1;
2) ∀x(P(x)⊃P(y)) — 1;
3) P(x)⊃∃yP(y) — 1;
4) ∃x(A(x)&B(x)) — 1;
5) ∃x∀y((P(x)&Q(y))⊃ R(z)) — 2;
6) ∃x∃y(P(x,y) V Q(x)) — 2.

№ 3
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• Р(7);
• Е(2)&P(2);
• ∀x(D(2,x)⊃ E(x));
• ∃x(E(x)&D(6,x));
• ∀x(P(x)⊃∃y(E(y)&D(x,y))).

№ 4
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∃x(E(x)&P(x)&∀y((E(y)&P(y))⊃ (x=y)));
• ∀x∀y((P(y)&D(x,y))⊃ ((x=y) V (x=1))).

№ 5
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∀x(Not() E(x)⊃ D(2,x)).

№ 6
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∀x(Not() (x=1)⊃ Not()∃y(P(y)&D(y,x)).

№ 7
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∀x((Not() P(x)& Not() (x=1))⊃∀ y(P(y)⊃$Not() D(x,y)));
• ∀x(D(2,x)⊃∀ y(D(x,y)⊃ >D(2,y)));
• x∀yD(x,y);
• ∀x∀y∀z(D(x× y,z)⊃ (D(x,z)&D(y,z))).

№ 8
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∀x∃y(P(y)⊃Not()D(y,x)).

№ 9
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∀x(P(x)Not() D(2,x));
• ∀x∀y(D(x,y) V D(y,x)).

№ 10
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∀x∀y∀z((D(x,z)&D(y,z))⊃D(x×y,z));
• ∀x∀y∀z(D(x,y+z)⊃(D(x,y)&D(x,z)));
• ∀x∀y∀z((D(x,z)&D(y,z))⊃D(x+y,z));
• ∀x∃y(P(y)⊃D(y,x));
• ∀x∀y(Not()P(x)⊃D(y,x)).

№ 1
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∀x(Not()E(x) V D(2,x));
• ∃x(P(x)⊃∀y(E(y)&D(x,y))).

№ 2
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∀x(Not()E(x)&P(x)&∀y((E(y)&P(y))⊃Not()(x=y)));;
• ∃x(Not()(x=1)⊃∃y(P(y)&D(y,x)).

№ 3
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• Not()Р(7);
• Not()Е(2) V Not()P(2);
• ∃x(D(2,x)⊃Not()E(x));
• ∃x(E(x)⊃Not()D(2,x)).

№ 4
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, Е(х) - “х - четное число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∃x∃y((P(y)&D(x,y))⊃Not()((x=y) V (x=1))).

№ 5
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∃x(P(x)⊃D(2,x));
• ∃x∃y(Not()D(x,y)& Not() D(y,x));
• ∀ x∃yNot()D(x,y);
• ∃x∃y∃zNot()D(x×y,z)&D(x,z)&D(y,z).

№ 6
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные:
• ∃x∃y∃z((D(x,z)&D(y,z))⊃Not()D(x×y,z));
• ∃x∃y∃z(D(x,y+z)⊃Not()(D(x,y)&D(x,z)));
• ∃x∃y∃z((D(x,z)&D(y,z))⊃Not()D(x+y,z));
• ∃x∀y(P(y)⊃Not()D(y,x)).

№ 7
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∃x(P(x)⊃∀y(P(y)⊃Not()D(x,y)));
• ∃x(Not()D(2,x)⊃∀ y(D(x,y)⊃ D(2,y)).

№ 8
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные:
• ∃x∀y(P(y)⊃D(y,x));
• ∀x∀y(P(x)⊃Not()D(y,x)).

№ 9
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах ложные.
• ∃x∀y(P(x)&P(y)& Not()D(x,y));
• ∃x(⊃Not()D(2,x)⊃∀y(D(x,y)&D(2,y)));
• ∀x∃yNot()D(x,y)&D(y,x);
• ∃x∃y∃zNot()(D(x×y,z)⊃ (D(x,z) V D(y,z))).

№ 10
Примем следующие обозначения для предикатов: Р(х) - “х - простое число”, D(х,у) - “у делится на х”, х=у - “х равно у”. Следующие высказывания о целых положительных числах истинные.
• ∃x(P(x)&D(2,x));
• ∃x∃y(⊃Not()D(x,y) V ⊃Not()D(y,x)).

№ 1
Даны утверждения. Используя предикат “нравится”(х,у)- “иксу нравится игрек”, дан перевод этих утверждений на язык логики предикатов:
1) каждому кто-то нравится — ∀х∃у “нравится”(х,у);;
2) каждому нравится каждый — ∀x∀y “нравится”(x,y);
3) кому-то нравится каждый — ∃x∀y “нравится”(x,y);
4) никому не нравятся все — Not()∃x∀y “нравится”(x,y);
5) никому не нравится нeкто — ∃x∀yNot() “нравится”(у,х);
6) кому-то не нравится никто — ∃у∀хNot() “нравится”(y,x).

№ 2
Даны формулы на языке логики предикатов. Пусть “нравится” (х,у) означает, что “Иксу нравится Игрек”. Дан перевод этих формул на русский язык:
1) каждому кто-то нравится — ∃x∀y “нравится”(x,y);
2) каждому нравится каждый — ∀x∀y “нравится”(x,y);
3) кому-то нравится каждый — ∃x∀yNot() “нравится”(у,х);
4) никому не нравятся все — Not()∃x∀y “нравится”(x,y);
5) никому не нравится нeкто — ∀х∃у “нравится”(х,у);
6) кому-то не нравится никто — ∃у∀хNot() “нравится”(y,x).

№ 3
Даны следующие утверждения. Используя предикат 'любит'(х,у)-'икс любит игрек', дан перевод этих утверждений на язык логики предикатов:
1) кто-то любит Джейн — ∃х(х,Джейн);
2) есть некто, кто любит Джейн — ∃х(х,Джейн);
3) никто не любит Джейн — Not()∃х(х,Джейн);
4) все любят Джейн — ∀x(х,Джейн);
5) Джейн любит всех — ∀x(Джейн,х);
6) не существует тот, кого Джейн любит — Not()∃х(Джейн,х).

№ 4
Даны следующие формулы логики предикатов:
1) есть некто, кто любит Джейн — Not()∃х(Джейн,х);
2) никто не любит Джейн — ∀x(х,Джейн);
3) все любят Джейн — ∀x(Джейн,х);
4) Джей любит всех — ∃х(х,Джейн);
5) не существует тот, кого Джейн любит — Not()∃х(х,Джейн).

№ 5
Какие из следующих подмножеств f множества A B являются функциям A→B?
• A={страны мира}, B={города мира} — f={‹a,b› ∈ A×B|b - столица a}

№ 6
Пусть А - произвольное множество, содержащее более одного элемента, и P(A)- множество-степень множества А. Следующее подмножеств А×P(A) является функцией А→Р(А)?
• f={‹a,B›|B={a}}.

№ 7
Пусть f, g, h - функции R→R - определены так:
f(x)=2x+1, g(x)=1/(x²+1), h(x)= √(x²+1).
Выражения для каждой из функций:
1) (f o g)x — (x²+3)/(x²+1);
2) (g o f)x — 1/(4x²+4x+2);
3) (g o h)x — 1/(x²+2).

№ 8
Пусть f, g, h - функции R→R - определены так:
f(x)=2x+1, g(x)=1/(x²+1), h(x)= √(x²+1).
Выражения для каждой из функций:
1) (f o f)x — 4x+3;
2) (h o f)x — √(4x²+4x+2);
3) (g o f)x — 1/(4x²+4x+2).

№ 9
Приведенные ниже функции являются инъективными.
• f:R\\{1}→R, f(x)=x/(x-1);
• f:R→R, f(x)=2^x.

№ 10
Приведенные ниже функции f:A→B являются инъективными.
• A - произвольное непустое множество, B=P(A),f(a)={a};
• A=B=P({a,b,c,d}), f(X)=A\\X.