Прикладные математические методы в радиотехнике
для специальности 200700
Кологривов В.А.
Кафедра CPC
Томск-2004

№ 1
Графическое отображение электрического соединения элементов соответствует понятиям:
• цепи;
• схемы;
• эквивалентной модели.

№ 2
Полное математическое описание цепи предполагает задание уравнений:
• компонентных и топологических.

№ 3
Компонентные уравнения устанавливают взаимосвязь:
• электрических величин (токов и напряжений) на зажимах отдельно взятых элементов;
• электрических величин (токов и напряжений) и их производных на зажимах отдельно взятых элементов.

№ 4
Топологические уравнения описывают взаимосвязь:
• элементов в цепи (схеме, модели);
• ветвей или элементов с узлами цепи.

№ 5
Топология цепи, описанная в терминах теории графов, включает понятия:
• ветви (ребра, хорды);
• вершины (узла);
• контура (главного контура);
• сечения (главного сечения);
• дерева.

№ 6
Различают следующие модели элементов, устройств и систем:
• математические;
• физические;
• эквивалентные;
• функциональные;
• структурные.

№ 7
Независимые источники призваны отображать в моделях и схемах:
• источники сторонних воздействий;
• источники сигналов;
• источники питания.

№ 8
Управляемые (зависимые) источники призваны отображать в моделях элементов и устройств:
• невзаимные свойства;
• активные свойства.

№ 9
Модели сигнала в частотной или временной области представляют собой:
• независимые источники - как непрерывные функции частоты или времени;
• независимые источники - как дискретные функции времени;
• независимые источники, описывающие цифровую последовательность импульсов.

№ 10
Тестовые сигналы, используемые при определении основных характеристик аналоговых устройств и систем радиотехники и связи:
• гармоническое колебание sin(ω*t), cos(ω*t), e^jωt;
• единичный скачок (функция Хевисайда) 1(t);
• дельта - функция (функция Дирака) δ(t-0)=δ(0).

№ 11
Тестовые сигналы, используемые при определении основных характеристик дискретных и цифровых устройств и систем радиотехники и связи:
• дискретное гармоническое колебание sin(ω*k*t), cos(ω*k*t), e^jωkt;
• последовательность единичных дельта - импульсов 1(k)=1_k;
• одиночный единичный дельта - импульс 1(0)=1₀.

№ 12
Математическая модель цепи, аналогового устройства, системы в частотной области:
• система линейных алгебраических уравнений.

№ 13
Алгебраические уравнения, как модель линейных устройств, в частотной области линейны относительно:
• переменных (напряжений и токов).

№ 14
Основными переменными линейных моделей устройств радиотехники и связи могут быть (являются):
• токи и напряжения;
• мощность;
• падающие и отраженные волны.

№ 15
В качестве независимых переменных в радиотехнике и связи обычно выступают (используются):
• частота и время;
• пространственные координаты.

№ 16
Аналитические методы решения систем линейных алгебраических уравнений:
• Крамера;
• обращения матрицы коэффициентов;
• последовательного исключения переменных (метод Гаусса).

№ 17
Классические методы формирования математической модели, в виде системы линейных алгебраических уравнений, по схеме (модели) устройства:
• узловой;
• контурный.

№ 18
Порядок узловой системы уравнений определяется либо:
• числом независимых узлов;
• числом ребер графа.

№ 19
Порядок контурной системы уравнений определяется:
• числом независимых контуров;
• числом хорд графа.

№ 20
Понятие исходного состояния покоя, в общем случае, включает:
• полное установление реакции на предыдущее воздействие;
• отсутствие сторонних источников.

№ 21
В частном случае пассивных устройств (за исключением дифференцирующих устройств) исходное состояние покоя совпадает по смыслу с нулевыми начальными условиями и подразумевает отсутствие в начальный момент времени:
• напряжений на конденсаторах;
• токов катушек индуктивности;
• сторонних источников;
• зарядов и магнитных потоков.

№ 22
Взаимосвязь оригиналов и изображений аналоговых и дискретных систем устанавливается преобразованиями:
• Z - преобразованиями;
• Лапласа (непрерывное и дискретное);
• Карсона.

№ 23
Операторный (символический) метод анализа аналоговых цепей, устройств и систем:
• основан на непрерывном преобразовании Лапласа;
• использует операторное представление компонентных уравнений реактивных элементов;
• оперирует с изображениями основных переменных (токов и напряжений);
• вводит понятие передаточной функции системы;
• позволяет описать преобразование и передачу сигнала аналоговыми системами простыми алгебраическими операциями.

№ 24
В операторном методе базовой функцией описания аналоговых сигналов и систем является экспонента вида e^p*t=e^(σ+j*ω)*t=e^σ*t*e^j*ω*t, где:
• t - переменная вещественной плоскости оригиналов:
• p=σ+j*ω - переменная комплексной плоскости изображений;
• e^σ*t - изменение амплитуды со временем;
• e^j*ω*t - изменение фазы со временем (гармонический осциллятор с частотой ω).

№ 25
Понятие передаточной характеристики (функции) аналоговой системы соответствует: отношению изображений реакции и воздействия при исходном состоянии покоя.

№ 26
Переход от передаточной функции к частотной характеристике аналогового устройства осуществляется путем замены:
• комплексной переменной p на j*ω, либо в дробно-рациональном представлении, либо в элементах матрицы коэффициентов системы.

№ 27
Передаточная либо частотная функция (характеристика) аналоговой системы обычно представляется в виде:
• правильной дробно-рациональной функции;
• суммы элементарных дробно-рациональных функций;
• отношений алгебраических дополнений матрицы коэффициентов системы.

№ 28
Узловой и контурный метод дают представление передаточной функции цепи, устройства, системы в виде:
• отношений алгебраических дополнений матрицы коэффициентов системы.

№ 29
Под частотной характеристикой (ЧХ) аналоговых устройств; и систем находившихся в состоянии_покоя понимается установившаяся_реакция на гармоническое_воздействие.

№ 30
Частотная характеристика аналоговых устройств и систем, находившихся в состоянии покоя, соответствует, в общем случае, зависимости от частоты воздействия установившейся реакции цепи в виде напряжений или токов или их отношений при:
• гармоническом воздействии.

№ 31
Единичное гармоническое колебание используется в качестве тестового воздействия в силу следующих обстоятельств, оно соответствует единичному гармоническому воздействию в области оригиналов, соответствует единичному гармоническому воздействию в частотной области кроме того, любое другое реальное воздействие может быть представлено комплексным спектром (суперпозицией гармонических колебаний определенной амплитуды частоты и фазы) и реакция линейной системы (выходной спектр колебаний) на произвольное воздействие при этом может быть определена по известной частотной характеристике в виде произведения входного спектра на частотную характеристику, суммы реакций на каждую спектральную составляющую.

№ 32
Удобство использования гармонического колебания в качестве тестового воздействия на линейную систему обусловлено тем, что:
• гармоническое колебание имеет одинаковое описание во времени и частоте;
• любое воздействие может быть представлено суперпозицией гармонических колебаний кратных частот (спектральных составляющих);
и реакция на выходе может быть определена:
• суперпозицией реакций на каждую спектральную составляющую.

№ 33
Представление любого воздействия во времени его частотным спектром (спектральной плотностью либо линейной суперпозицией гармонических составляющих на кратных частотах) соответствует:
• интегральному преобразованию Фурье для непериодического воздействия;
• ряду Фурье для периодического воздействия.

№ 34
Изменение амплитуды установившейся реакции линейной системы от частоты гармонического воздействия соответствует:
• амплидудно-частотной характеристике АЧХ.

№ 35
Изменение задержки установившейся реакции линейной системы от частоты гармонического воздействия соответствует:
• фазо-частотной характеристике ФЧХ.

№ 36
Частотная характеристика (ЧХ) устройств и систем в общем случае является комплексной функцией частоты.

№ 37
Характеристическое уравнение аналоговой системы из дробно-рационального представления передаточной функции можно получить:
• приравнивая знаменатель нулю.

№ 38
Частотная характеристика (ЧХ) обычно представляется в виде:
• амплитудно-частотной характеристики АЧХ;
• фазо-частотной характеристики ФЧХ;
• логарифмической амплитудно-частотной характеристики ЛАЧХ;
• логарифмической фазо-частотной характеристики ЛФЧХ.

№ 39
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) соответствует модулю частотной характеристики (ЧХ).

№ 40
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) соответствует аргументу частотной характеристики (ЧХ).

№ 41
Различают следующие классические формы АЧХ аналоговых устройств и систем (например, фильтров):
• типа фильтра нижних частот (ФНЧ);
• типа фильтра верхних частот (ФВЧ);
• типа полосно-пропускающего фильтра (ППФ);
• типа полосно-заграждающего фильтра (ПЗФ).

№ 42
Частотная характеристика аналоговых устройств и систем определяет:
• условия прохождения спектральных составляющих сигнала;
• собственные частоты колебаний избирательных систем.

№ 43
Различают следующие вторичные параметры АЧХ аналоговых устройств и систем:
• полоса пропускания;
• граничная частота;
• полоса заграждения.

№ 44
Понятие граничной частоты АЧХ апериодического устройства связано с параметрами цепи или модели, через:
• постоянную времени;
• эквивалентную постоянную времени.

№ 45
Граничная частота (стандартное определение) соответствует частоте, на которой значение АЧХ:
• изменяется на 3 дБ по отношению к средним частотам;
• либо соответствует частоте первого излома ЛАЧХ.

№ 46
Постоянная времени соответствует времени изменения либо напряжения на конденсаторe RC-цепи, либо тока катушки индуктивности RL-цепи, ровно в e раз после скачкообразного изменения значения соответствующей переменной.

№ 47
Для простейших интегрирующих и дифференцирующих RC- или RL- цепей - постоянная времени определяется выражениями:
• τ=R*C;
• τ=L/R.

№ 48
Для простейших интегрирующих и дифференцирующих RC- или RL- цепей - граничная частота определяется выражениями:
• ω_g=τ^-1;
• ω_g=1/τ.

№ 49
Система линейных алгебраических уравнений - это совокупность уравнений, устанавливающих соответствие линейных суперпозиций переменных и их значений.

№ 50
Коэффициенты линейных суперпозиций переменных, образующих алгебраическую систему уравнений, соответствуют:
• матрице коэффициентов системы.

№ 51
Переменные линейных суперпозиций, образующих алгебраическую систему уравнений, соответствуют:
• вектору неизвестных.

№ 52
Значения линейных суперпозиций переменных, образующих алгебраическую систему уравнений, соответствуют:
• вектору свободных членов.

№ 53
Система линейных алгебраических уравнений (неоднородная) устанавливает соответствие:
• входного вектора неизвестных и заданного вектора свободных членов.

№ 54
Система линейных алгебраических уравнений, в общем случае может:
• быть неоднородной;
• быть определенной;
• быть неопределенной.

№ 55
Неоднородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение если:
• определитель матрицы коэффициентов системы отличен от нуля;
• ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, то есть матрицы, дополненной вектором свободных членов;
• вектор свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы коэффициентов системы;
• строки и столбцы матрицы коэффициентов линейно независимы;
• строки либо столбцы матрицы не представимы линейной комбинацией других строк или столбцов.

№ 56
Однородная система линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений, совпадает с числом неизвестных, имеет нетривиальное, то есть отличное от нуля решение, если:
• определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю;
• число уравнений (неизвестных) больше ранга матрицы коэффициентов;
• ранг матрицы коэффициентов меньше порядка (размерности) матрицы;
• некоторые строки и столбцы матрицы линейно зависимы;
• некоторые строки и столбцы матрицы являются линейной комбинацией других строк и столбцов.

№ 57
Проблема собственных значений и векторов системы линейных алгебраических уравнений заключается в определении:
• собственных векторов;
• собственных значений;
• собственного базиса;
• корней характеристического уравнения;
• канонического представления матрицы системы.

№ 58
Собственные вектора матрицы коэффициентов системы соответствуют векторам, которые при действии на них матрицы, как линейного оператора:
• остаются коллинеарными, то есть произвольно изменяют длину, а направление сохраняют.

№ 59
Собственные значения матрицы коэффициентов системы соответствуют масштабным коэффициентам деформации собственных векторов при действии на них матрицы, как линейного оператора.

№ 60
Модальная матрица коэффициентов системы соответствует:
• матрице собственных векторов как столбцов;
• матрице векторов собственного базиса как столбцов.

№ 61
Характеристическое уравнение матрицы коэффициентов линейной системы соответствует:
• определителю характеристической матрицы, приравненному нулю det(A-∧)=“A-∧”=0.

№ 62
Собственные значения матрицы коэффициентов системы соответствуют:
• корням характеристического уравнения.

№ 63
Собственные вектора матрицы коэффициентов системы определяются:
• алгебраическими дополнениями матрицы [A-∧_i], по элементам, какой либо строки;
• решениями однородных систем уравнений вида [A-∧_I]*h_i=0.

№ 64
Собственные вектора и значения определяют каноническое разложение невырожденной матрицы коэффициентов линейной алгебраической системы уравнений в виде:
• #math A=H*∧*H^-1.

№ 65
Невырожденная матрица коэффициентов линейной алгебраической системы уравнений принимает канонический вид в собственном базисе в соответствии с выражением:
• ∧=H^-1*A*H.

№ 66
Аналитическая функция матричного аргумента, в случае отличных от нуля и взаимно различных собственных значений, может быть определена на основании канонического разложения матрицы в виде:
• F(A)=H*F(∧)*H^-1.

№ 67
Интегральное преобразование Лапласа, как основной аппарат операционного исчисления, включает свойства и теоремы:
• линейности;
• теоремы о смещении и сдвиге оригинала (изображения);
• теоремы о дифференцировании оригинала (изображения);
• теоремы о свертке оригиналов (изображений);
• теоремы о предельных значениях оригинала.

№ 68
Интегральное преобразование Лапласа вобрало в себя следующие разделы математики (математического анализа):
• теории функций комплексного переменного;
• интегрирование вещественных и комплексных функций;
• интегрирование по контуру на комплексной плоскости;
• операционное исчисление;
• теорию вычетов.

№ 69
Интегральное преобразование Лапласа устанавливает взаимосвязь:
• вещественных функций оригиналов и комплексных функций изображений;
• пространства оригиналов и пространства изображений;
• функций времени и функций частоты;
• функций пространственной переменной и функций пространственной частоты;
• функций вещественной переменной и функций комплексной переменной.

№ 70
Интегральное, прямое и обратное преобразование Лапласа, устанавливают взаимосвязь ... и их изображений.
• функций оригинала;
• производных функций оригинала;
• интегралов функций оригинала;
• предельных значений функции оригинала;
• масштабных изменений функций оригинала.

№ 71
Условия существования прямого классического преобразования Лапласа:
• функция оригинал определена и непрерывна на всей вещественной оси, за возможным исключением конечного числа точек разрыва первого рода;
• значение оригинала равно нулю при аргументе равном нулю;
• функция оригинала нарастает медленнее любой наперед заданной показательной функции;
• предел изображения при аргументе, стремящемся к бесконечности, равны нулю.

№ 72
Основные теоремы операционного исчисления основанного на преобразовании Лапласа ... функций оригиналов или изображений.
• о преобразовании суммы;
• о дифференцировании;
• об интегрировании;
• о смещении и сдвиге;
• о свертке.

№ 73
Способы выполнения обратного преобразования Лапласа:
• прямое вычисление контурного интеграла;
• использование теоремы о вычетах;
• использование теорем разложения;
• разложение на элементарные дроби;
• использование таблиц.

№ 74
Операторная алгебра, разработанная Яном Микусинским и Лораном Шварцем, призвана:
• распространить операционное исчисление на обобщенные функции (распределения) типа единичного скачка (функции Хевисайда) и дельта - функцию и ее производные;
• формализовать аналитические преобразования с обобщенными функциями;
• расширить область применения операционного исчисления на обобщенные функции, не удовлетворяющие условиям существования (традиционного) классического преобразования Лапласа;
• обеспечить возможность аналитических преобразований неправильных дробно-рациональных функций.

№ 75
Теорема о дифференцировании оригинала утверждает, что:
• производной оригинала в области изображений соответствует умножение изображения оригинала на p, минус начальное значение оригинала при стремлении к нулю справа;
• повторное применение этой теоремы дает правило преобразования Лапласа при кратном дифференцировании оригинала.

№ 76
Теорема о начальном значении оригинала непрерывной функции утверждает, что:
• начальное значение оригинала, как предел при стремлении оригинала к нулю справа, может быть вычислен как предел при p→∞ от изображения умноженного на p;
• повторное применение этой теоремы дает правило определения начальных значений производных оригинала;
причем, если при очередном умножении на p, получается неправильная дробно-рациональная функция и формально предел равен бесконечности, то для выделения конечных составляющих предела, необходимо путем последовательного деления числителя на знаменатель, найти целую часть и остаток, при этом:
• целые части от деления дают бесконечные составляющие начального значения в виде дельта - функции и ее производных;
• остаток от деления в виде правильной дробно-рациональной функции дает конечные составляющие начального значения.

№ 77
Единичный скачок или функция Хевисайда:
• равна нулю, при t<0;
• не определена, при t=0;
• равна единице, при t>0.

№ 78
Дельта - функция или функция Дирака:
• равна нулю, при t<0;
• равна бесконечности, при t=0;
• равна нулю, при t>0.

№ 79
Другие определения дельта - функции:
• интеграл от дельта - функции в бесконечно малой окрестности равен единице;
• дельта - функция есть производная от функции Хевисайда;
• дельта - функция может быть получена как предел любой функции, область определения которой стремиться к нулю, а интеграл, то есть площадь под функцией стремиться к единице.

№ 80
Преобразования Лапласа обобщенных функций, на основании операторной алгебры, можно определить следующим образом:
• оригиналу, в виде функции Хевисайда 1(t), соответствует изображение вида 1/p;
• оригиналу, в виде дельта - функции δ(t-0)=δ(0), соответствует изображение вида 1;
• оригиналу, в виде производной дельта - функции δ´(t-0)=δ´(0), соответствует изображение вида p;
• оригиналу, в виде второй производной - функции δ´´(t-0)=δ´´(0), соответствует изображение вида p²;
• оригиналу, в виде n - ной производной дельта - функции δ⁽ⁿ⁾(t-0)=δ⁽ⁿ⁾(0), соответствует изображение вида pⁿ.

№ 81
Преобразования Лапласа гармонических функций определяются следующим образом:
• оригиналу, в виде синусоидального воздействия sin(ω*t), соответствует изображение вида ω/(p²+ω²);
• оригиналу, в виде косинусоидального воздействия cos(ω*t), соответствует изображение вида p/(p²+ω²);
• оригиналу, в виде гармонического осциллятора e^j*ω*t=cos(ω*t)+j*sin(ω*t), соответствует изображение вида
.

№ 82
Понятие переходной характеристики (функции) аналоговой системы соответствует реакция системы, находящейся в состоянии покоя на единичный скачок (функцию Хевисайда).

№ 83
Понятие импульсной характеристики (функции) аналоговой системы соответствует реакция системы, находящейся в состоянии покоя на дельта функцию_(функцию Дирака).

№ 84
Связь переходной и импульсной характеристик устанавливается на основании теоремы о дифференцирования оригинала соотношением:
• g(t)=h´(t)+δ(0)*h(0).

№ 85
Связь передаточной и импульсной характеристик и частотной и импульсной характеристик устанавливается, соответственно, преобразованиями Лапласа и Фурье:
• K(p)=∫₀^∞ g(t)*e^-p*t dp;
• K(j*ω)=∫₀^∞ g(t)*e^-j*ω*t dω.

№ 86
Переходные характеристики (функции) интегрирующей и дифференцирующей RC- и RL- цепей устанавливаются соотношениями:
• h(t)=1-e^-α*t;
• h(t)=e^-α*t.

№ 87
Импульсные характеристики (функции) интегрирующей и дифференцирующей RC- и RL- цепей устанавливаются соотношениями:
• g(t)=α*e^-α*t;
• g(t)=-α*e^-α*t+δ(0).

№ 88
Переходная функция характеризует быстродействие (инерционность) устройства через реакцию на мгновенный перепад в виде единичного скачка с использованием понятия времени нарастания.

№ 89
Импульсная функция характеризует быстродействие (инерционность) устройства через реакцию на мгновенный бесконечный импульс в виде дельта - функции с использованием понятия времени релаксации.

№ 90
Использование единичного скачка в качестве тестового воздействия обусловлено следующими факторами: соответствует единичному воздействию в области оригиналов, кроме того, любое другое реальное воздействие может быть представлено суперпозицией взвешенных скачков со сдвигами по времени и реакция линейной системы на произвольное воздействие при этом может быть определена по известной переходной характеристике с использованием интеграла Дюамеля.

№ 91
Использование дельта - импульса в качестве тестового воздействия обусловлено следующими факторами: соответствует единичному воздействию в области изображений, кроме того, любое другое реальное воздействие может быть представлено суперпозицией взвешенных дельта - импульсов со сдвигами по времени и реакция линейной системы на произвольное воздействие при этом может быть определена по известной импульсной характеристике с использованием интеграла свертки.

№ 92
Время нарастания переходной характеристики простейших RC- или RL- цепи при подаче на вход единичного скачка соответствует времени изменения реакции:
• от уровня 0.1 до уровня 0.9 от установившегося значения;
и связано с параметрами цепи соотношением:
• t_n≈2.2*τ.

№ 93
В качестве математической модели аналоговой цепи, устройства, системы во временной области, в общем случае, используется:
• система обыкновенных дифференциальных уравнений (для сосредоточенных цепей);
• система дифференциальных уравнений в частных производных (для распределенных цепей).

№ 94
Методы аналитического решения (интегрирования) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
• операторный;
• вариации произвольных постоянных (Лагранжа);
• Коши (представление решения в форме Коши);
• неопределенных коэффициентов;
• разделения переменных.

№ 95
Переход от передаточной функции аналоговой системы к дифференциальному уравнению относительно выходной переменной (реакции) осуществляется путем ... в предположении нулевых начальных условий, а истинные начальные условия учитываются при интегрировании.
• выражения изображения реакции в виде произведения изображения входного воздействия на функцию передачи;
• замены изображений оригиналами;
• замены в дробно-рациональном выражении передаточной функции комплексной переменной p оператором дифференцирования d/dt.

№ 96
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) представляет собой в общем случае уравнение связи либо:
• нескольких неизвестных функций одной независимой переменной и их производных (в случае системы ОДУ);
• производных неизвестной функции;
• неизвестной функции и ее производных.

№ 97
Дифференциальное уравнение с отличной от нуля правой частью называется:
• неоднородным.

№ 98
Правая часть неоднородного дифференциального уравнения соответствует:
• известной функции и определяется воздействием на систему;
• известной функции и ее производным.

№ 99
Порядок обыкновенного дифференциального уравнения определяется:
• старшей степенью производной неизвестной функции.

№ 100
Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение, означает найти:
• неизвестную функцию.

№ 101
Уравнение связи, то есть дифференциальное уравнение позволяет определить лишь:
• общее решение;
в виде:
• семейства интегральных кривых в области определения решения.

№ 102
Для определения частного решения необходимо с помощью либо:
• независимых дополнительных условий;
• начальных условий;
определить точку в пространстве решений:
• выделяющую конкретную интегральную кривую.

№ 103
Для определения частного решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n, необходимо задать либо:
• значения функции и ее первых производных до (n-1) - го порядка в любой точке пространства решений;
• начальные значения функции решения и ее первых производных до (n-1) - го порядка.

№ 104
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях заключается в определении:
• условий существования решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

№ 105
Согласно теореме Коши, существование и единственность решения обыкновенного дифференциального уравнения, как функции:
• независимой переменной;
• зависимой переменной (неизвестной функции);
• первых производных зависимой переменной до (n-1) - го порядка;
при условии:
• определения и непрерывности этой функции (дифференциального уравнения) в (n+1) - мерной открытой области D вместе со своими производными по зависимой переменной и ее (n-1) - й производной;
для любой точки M, определяемой начальными условиями и, принадлежащей области D в некоторой ее окрестности, существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

№ 106
Краевая задача, в отличие, от задачи Коши с начальными условиями состоит в определении решений дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условиям на концах заданного промежутка изменения независимой переменной и при этом краевая задача:
• может иметь несколько решений;
• не иметь решений;
• иметь единственное решение.

№ 107
Линейным обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое:
• неизвестная функция и ее производные входят линейно (в первой степени);
и, коэффициенты которого являются либо:
• константами;
• степенными полиномами первого порядка независимой переменной;
• линейными функциями независимой переменной.

№ 108
Нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение в которое:
• неизвестная функция и ее производные входят нелинейно;
и, коэффициенты которого являются либо:
• полиномами независимой переменной;
• нелинейными функциями независимой переменной;
• константами.

№ 109
Различают обыкновенные дифференциальные уравнения:
• с постоянными коэффициентами;
• с переменными коэффициентами;
• с линейными коэффициентами;
• с периодическими коэффициентами;
• с нелинейными коэффициентами.

№ 110
Характеристическое уравнение системы может быть определено по однородной части дифференциального уравнения путем замены функции и ее производных:
• переменной соответствующей степени.

№ 111
Корни характеристического уравнения определяют:
• фундаментальную систему решений однородного уравнения;
• систему независимых решений однородного уравнения.

№ 112
Условием независимости системы фундаментальных решений обыкновенного однородного дифференциального уравнения является:
• отличие от нуля определителя Вронского.

№ 113
Определитель Вронского строится построчно:
• из фундаментальных решений и их производных до (n-1) - го порядка.

№ 114
Корни характеристического уравнения для аналоговых систем физически соответствуют:
• частотам собственных колебаний системы.

№ 115
Фундаментальные решения однородного дифференциального уравнения определяется корнями характеристического уравнения #math #l(alpha,i), а именно:
• exp(-α_i*t) для различающихся корней;
• exp(-α_i*t),t*exp(-α_i*t),t²*exp(-α_i*t),. . . ,t^k-1*exp(-α_i*t) для корня кратности k.

№ 116
Согласно общей теории дифференциальных уравнений, общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой:
• линейную суперпозицию постоянных и фундаментальных решений .

№ 117
Согласно общей теории дифференциальных уравнений, частное решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения находиться путем определения постоянных общего решения, используя либо:
• начальные условия;
• независимые дополнительные условия.

№ 118
Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой:
• линейную суперпозицию варьируемых постоянных и фундаментальных решений .

№ 119
Согласно методу Лагранжа, частное решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения находится путем определения варьируемых постоянных общего решения, используя:
• подстановку предполагаемого общего решения в исходное уравнение и наложение ограничений на рост порядка производных варьируемых постоянных;
• построение и решение определяющей системы уравнений;
• интегрирование выражений производных варьируемых постоянных с точностью до постоянных интегрирования;
а определение постоянных интегрирования производится с использованием:
• либо начальных условий;
• либо независимых дополнительных условий.

№ 120
В общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений утверждается, что:
• общее решение неоднородного уравнения определяется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения;
или с физической точки зрения:
• реакция на выходе аналоговой динамической системы определяется суммой свободных колебаний системы обусловленных начальными условиями и вынужденных колебаний обусловленных внешним воздействием на систему;
• реакция на выходе аналоговой динамической системы определяется суммой переходного процесса обусловленного начальными условиями и внешним воздействием и установившегося (стационарного) процесса обусловленного внешним воздействием.

№ 121
Система обыкновенных дифференциальных уравнений представляет в общем случае совокупность уравнений связи:
• нескольких неизвестных функций и их производных одной независимой переменной.

№ 122
Обыкновенное дифференциальное уравнение n - го порядка может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений первого порядка путем последовательной замены:
• неизвестной функции и ее производных до (n-1) - го порядка новыми переменными (функциями) той же независимой переменной;
• производных неизвестной функции от нулевого до (n-1) - го порядка новыми переменными (функциями) той же независимой переменной.

№ 123
Основное отличие обыкновенного дифференциального уравнения от уравнений в частных производных заключается в том, что:
• обыкновенное дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную;
• дифференциальное уравнение в частных производных имеет несколько независимых переменных.

№ 124
Операторный метод интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения заключается в:
• замене функций оригиналов и их производных изображениями с учетом начальных значений по теореме о дифференцировании оригиналов;
• приведении подобных членов и выражении изображения неизвестной функции (решения);
• нахождении оригинала неизвестной функции (решения) обратным преобразованием Лапласа ее изображения;
причем, обычно, обратное преобразование Лапласа осуществляется либо с использованием:
• вычетов;
• таблиц.

№ 125
Расчет временных характеристик аналоговых устройств по известной схеме (модели) заключается в:
• получении передаточной характеристики;
• выражении изображения реакции;
• нахождении оригинала реакции (решения) обратным преобразованием Лапласа ее изображения;
причем, обычно, обратное преобразование Лапласа осуществляется либо с использованием:
• вычетов;
• таблиц.

№ 126
Метод вариации произвольных постоянных или метод Лагранжа, применительно к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, заключается в:
• записи общего решения неоднородного дифференциального уравнения в виде линейной суперпозиции варьируемых постоянных и фундаментальных решений однородного уравнения;
• формировании разрешающей системы Лагранжа путем наложения ограничений на рост порядка производных варьируемых постоянных при нахождении производных общего решения с целью подстановки в исходное уравнение;
• определении производных варьируемых постоянных из разрешающей системы Лагранжа;
• интегрировании выражений производных варьируемых постоянных с точностью до постоянных интегрирования;
• определении постоянных интегрирования из дополнительных независимых условий, например, начальных.

№ 127
Определяющая (разрешающая) система уравнений Лагранжа для обыкновенных дифференциальных уравнений строится путем:
• наложения ограничений на рост порядка производных варьируемых постоянных (неизвестных функций) выше первого;
• подстановки производных общего решения с учетом наложенных ограничений в исходное уравнение;
и представляет собой:
• систему линейных алгебраических уравнений относительно производных варьируемых постоянных.

№ 128
Представление решения обыкновенного дифференциального уравнения в форме Коши, в общем случае, заключается в:
• предварительном преобразовании исходного обыкновенного дифференциального уравнения n - го порядка в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных вместо неизвестной функции и ее производных;
• применении формулы Коши для выражения частного решения уравнения с использованием начальных условий и экспоненциальных функций от матрицы коэффициентов эквивалентной системы; причем:
• вектор функций (решений) соответствует исходной функции и ее производным до (n-1) - го порядка;
• вектор правой части системы содержит в качестве последней компоненты правую часть исходного уравнения;
• матрица коэффициентов системы имеет вполне определенный вид, обусловленный заменой переменных.

№ 129
Для использования представления аналитического решения дифференциального уравнения в форме Коши в случае нулевых и кратных корней характеристического уравнения (вырожденный случай) предлагается:
• положить корни различными и отличными от нуля;
• довести аналитическое решение до конца;
• осуществить предельный переход полученного решения к реальным значениям корней.

№ 130
Основными блоками функциональных схем аналоговых устройств и систем являются:
• сумматоры;
• интеграторы;
• масштабирующие звенья.

№ 131
Дискретными называются системы, реагирующие на входное воздействие:
• в определенные моменты времени;
а их математическое описание осуществляется:
• дискретными (решетчатыми) функциями времени;
• на основе исчисления конечных разностей.

№ 132
Дискретными называются сигналы, существующие:
• в определенные моменты времени;
а их математическое описание осуществляется:
• дискретными (решетчатыми) функциями времени;
• на основе исчисления конечных разностей.

№ 133
Импульсные сигналы, в виде последовательности импульсов, чаще всего прямоугольной формы, как промежуточный класс сигналов между аналоговыми и дискретными сигналами, могут содержать информацию:
• в амплитуде импульсной последовательности (АИМ);
• в относительном временном положении импульсов в последовательности (ВИМ);
• в длительности импульсов в последовательности (ШИМ);
• в кодовой последовательности импульсов (КИМ).

№ 134
Цифровые сигналы, являясь разновидностью дискретных сигналов, предполагают преобразование отсчетов аналогового сигнала в цифровую последовательность импульсов по принципу:
• представление дискретного значения сигнала двоичной последовательностью коротких импульсов определенной разрядности.

№ 135
Преобразование аналогового сигнала в цифровой предполагает:
• операцию дискретизации (выборки) значения сигнала в дискретные моменты времени с шагом или периодом T;
• квантование по уровням - представление дискретных значений значениями ближайшего уровня квантования;
• “оцифровку” - представление квантованного дискретного значения двоичной последовательностью импульсов определенной разрядности.

№ 136
Дискретизацию по времени и квантование по уровням аналогового сигнала можно осуществить с помощью:
• управляемого ключа (коммутатора);
• компаратора.

№ 137
Простейшими преобразователями дискретного сигнала в аналоговый сигнал являются:
• экстраполяторы;
• интеграторы;
• фильтры нижних частот (ФНЧ).

№ 138
Преобразование аналогового сигнала в цифровой и обратно осуществляется с помощью:
• аналого-цифрового преобразователя (АЦП);
• цифро-аналогового преобразователя (ЦАП).

№ 139
Исчисление конечных разностей определяет понятия:
• дискретной или решетчатой функции;
• оператора сдвига (упреждения и запаздывания);
• разностного оператора (правого и левого);
• обратного разностного оператора;
• разностного уравнения.

№ 140
Дискретными или решетчатыми называются функции (функциональные последовательности):
• принимающие конкретные значения при конкретных значениях аргумента;
• которые могут быть получены выборкой значений непрерывных функций при конкретных значениях аргумента;
• анализ этих функций строится на исследовании конечных разностей (исчисление конечных разностей);
• аналогом производных дискретных функций является разностный оператор;
• аналогом интеграла дискретных функций является обратный разностный оператор.

№ 141
Оператором сдвига дискретной функции (функциональной последовательности) называется оператор представленный выражениями:
• E*f_k=f_k+1 - для оператора упреждения на один такт;
• E^-1*f_k=f_k-1 - для оператора задержки на один такт;
• Eⁿ*f_k=f_k+n - для оператора упреждения на n тактов;
• E^-n*f_k=f_k-n - для оператора задержки на n тактов;
• оператору упреждения в области оригиналов, при нулевых начальных условиях, в области изображения соответствует умножение изображения на комплексную переменную zⁿ, то есть Eⁿ*f_k⇒zⁿ*F(z);
• оператору задержки в области оригиналов, при нулевых начальных условиях, в области изображения соответствует умножение изображения на комплексную переменную z^-n, то есть E^-n*f_k⇒z^-n*F(z).

№ 142
Разностный оператор (правый, левый) определяется следующими выражениями:
• Δ*f_k=f_k+1-f_k=(E-1)*f_k - для правого оператора;
• ∇*f_k=f_k-f_k-1=(1-E^-1)*f_k - для левого оператора;
• Δ²*f_k=Δ*(Δ*f_k)=f_k+2-2*f_k+1+f_k;
• Δ³*f_k=Δ*(Δ²*f_k)=f_k+3-3*f_k+2+3*f_k+1-f_k;
• .

№ 143
Свойства разностного оператора можно проиллюстрировать следующими выражениями:
• Δ*c*f_k=c*Δ*f_k;
• Δⁿ*(f_k+g_k)=Δⁿ*f_k+Δⁿ*g_k;
• Δ^m*Δⁿ*f_k=Δ^m+n*f_k;
• Δ*(f_k*g_k)=f_k+1*Δ*g_k+g_k*Δ*f_k;
• .

№ 144
Обратный разностный оператор является аналогом интегрального оператора непрерывных функций и определяется суммой функциональной последовательности в соответствии с выражениями:
• ;
• Δ^-1*Δ*f_k=f_k;
• .

№ 145
Сумма функциональной последовательности, соответствующая действию обратного разностного оператора на последовательность, обычно определяется, с точностью до постоянной суммирования C, как сумма либо:
• арифметической прогрессии;
• геометрической прогрессии;
• факториального многочлена.

№ 146
Факториальный многочлен, часто используемый в исчислении конечных разностей, и действие на него разностного оператора и обратного разностного оператора определяются соотношениями:
• (k)ⁿ=k*(k-1)*(k-2)...(k-n+1), где n≥1;
• Δ*(k)ⁿ=n*(k)ⁿ=n*k*(k-1)*(k-2)...(k-n+2);
• Δ^-1*(k)ⁿ=(1/(n+1))*(k)ⁿ⁺¹+C.

№ 147
Основными элементами функциональной модели дискретных или цифровых устройств и систем являются:
• сумматоры;
• звенья задержки;
• масштабирующие звенья.

№ 148
В качестве тестовых воздействий дискретных и цифровых систем используются:
• дискретное гармоническое воздействие sin(ω*k*T), cos(ω*k*T), e^j*ω*k*T;
• последовательность единичных дельта - импульсов 1(k*T)=1(k)=1_k;
• одиночный единичный дельта - импульс 1(0*T)=1(0)=1₀.

№ 149
Основными характеристиками дискретных и цифровых устройств и систем являются:
• системная (передаточная) характеристика;
• частотная характеристика;
• переходная характеристика;
• импульсная характеристика.

№ 150
Системная характеристика дискретной или цифровой системы, при исходном состоянии покоя, определяется как отношение:
• изображения реакции к изображению воздействия.

№ 151
Системная характеристика дискретной или цифровой системы может быть получена по:
• функциональной схеме (модели) устройства;
• передаточной либо частотной характеристике аналогового прототипа;
• разностному уравнению системы;
• дифференциальному уравнению аналогового прототипа;
• импульсной характеристике системы;
• импульсной характеристике аналогового прототипа.

№ 152
Системная характеристика (функция) дискретной или цифровой системы представляется обычно в виде:
• дробно-рациональной функции комплексной переменной z;
• является комплексной функцией нормированной частоты z;
причем вид дробно-рациональной функции определяет структуру функциональной модели дискретной или цифровой системы и, кроме того системная функция:
• связана обратным Z - преобразованием с импульсной характеристикой системы;
• есть отношение Z - изображения реакции к Z - изображению входного воздействия.

№ 153
По известной системной характеристике дискретной или цифровой системы S(z) можно определить:
• изображение выходной реакции системы V(z)=E(z)*S(z);
• импульсную характеристику системы путем обратного Z - преобразования;
• частотную характеристику системы путем замены вида z^k=e^j*ω*k*T;
• структуру функциональной модели дискретной или цифровой системы.

№ 154
Частотная характеристика дискретной или цифровой системы:
• является комплексной функцией частоты;
• определяет частотную зависимость реакции от частоты;
• определяет условия прохождения спектра входного сигнала на выход системы;
• имеет периодический характер от частоты, причем период повторения определяется частотой дискретизации;
• может быть получена из системной характеристики путем замены вида z=e^j*ω*T.

№ 155
Частотная характеристика дискретной или цифровой системы, находящейся в состоянии покоя, может быть определена как:
• установившаяся реакция системы на дискретное гармоническое воздействие единичной амплитуды.

№ 156
Частотная характеристика дискретной или цифровой системы, по установившейся части реакции на гармоническое воздействие, из исходного состояния покоя, может быть определена следующим образом:
• амплитуда установившейся части реакции соответствует точке АЧХ;
• сдвиг по времени реакции относительно входного воздействия соответствует точке ФЧХ;
причем при смене частоты воздействия ω на ω+2*π*n/T=ω+n*ω_d, где n - целое число; T - период дискретизации; ω_d - круговая частота дискретизации, получаем те же значения:
• амплитуды;
• сдвига по времени относительно входного воздействия;
установившейся реакции в силу периодичности частотной характеристики дискретной или цифровой системы.

№ 157
Переходная характеристика h_k дискретных или цифровых систем, находящихся в исходном состоянии покоя может быть определена как:
• реакция на последовательность единичных дельта - импульсов 1(k*T)=1(k)=1_k.

№ 158
Импульсная характеристика g_k дискретных или цифровых систем, находящихся в исходном состоянии покоя может быть определена как:
• реакция на одиночный единичный дельта - импульс 1(0*T)=1(0)=1₀.

№ 159
Временные характеристики (переходную и импульсную) дискретных и цифровых систем определяются либо:
• из решения разностного уравнения системы при соответствующем входном воздействии;
• по изображению выходной реакции системы с помощью обратного Z - преобразования.

№ 160
Реакция дискретной системы на произвольное воздействие, может быть определена по известной переходной либо импульсной характеристике, как:
• суперпозиция взвешенных и смещенных переходных характеристик (аналог интеграла Дюамеля);
• дискретная свертка взвешенных и смещенных импульсных характеристик (аналог интегральной свертки).

№ 161
Смена характера входного воздействия на дискретную систему:
• оставляет однородную часть разностного уравнения неизменной;
• изменяется лишь неоднородная (правая) часть уравнения, обусловленная внешним воздействием;
• система фундаментальных решений разностного уравнения остается неизменной;
• могут измениться лишь начальные условия;
• общее решение неоднородного разностного уравнения не изменится;
• изменится лишь частное решение неоднородного разностного уравнения.

№ 162
Взаимосвязь вещественной дискретной функции оригинала и комплексной функцией изображения можно установить с помощью:
• дискретного преобразования Лапласа;
• Z - преобразования;
• причем Z - преобразование следует из дискретного преобразования Лапласа при замене вида e^p*t=e^p*k*T=z^k;
• наоборот Z - преобразование переходит в дискретное преобразование Лапласа при замене вида p=ln(z)/T.

№ 163
Операционное исчисление основанное на Z - преобразовании включает в себя:
• свойство линейности;
• теоремы об упреждении и запаздывании;
• теорему о сумме функциональной последовательности;
• теорему о свертке;
• предельные теоремы о значении функции оригинала.

№ 164
Обратное - преобразование обычно выполняется:
• прямым суммированием;
• с использованием теорем разложения;
• с использованием теории вычетов;
• с использованием таблиц;
• с использованием предварительного разложения дробно-рационального выражения на простые дроби.

№ 165
Теорема о сдвиге (упреждении или запаздывании) оригинала утверждает, что:
• упреждению оригинала в области изображений соответствует разности изображения оригинала и начального значения оригинала, умноженной на z, то есть f_k+1 ⇒ z*[F(z)-f₀];
• повторное применение этой теоремы дает правило Z - преобразования при кратном упреждении оригинала;
• запаздыванию оригинала в области изображений соответствует умножение изображения оригинала на z^-1, минус начальное значение оригинала при стремлении к -1 справа, то есть f_k-1 ⇒ z^-1*F(z)+f_-1;
• повторное применение этой теоремы дает правило Z - преобразования при кратном запаздывании оригинала.

№ 166
Теорема о начальном значении оригинала дискретной функции утверждает, что:
• начальное значение оригинала, как предел при стремлении оригинала к нулю справа, может быть вычислен как предел при z→∞ от изображения;
• повторное применение этой теоремы с учетом теоремы об упреждении или сдвиге дает правило определения начальных значений при очередном сдвиге оригинала.

№ 167
Z - преобразования основных дискретных функций, на основании операторной алгебры, можно определить следующим образом:
• оригиналу, функции 1_k, в виде последовательности единичных дельта - импульсов, соответствует изображение вида z/(z-1);
• оригиналу, функции 1₀, соответствующей одиночному единичному дельта - импульсу, соответствует изображение вида 1;
• оригиналу, в виде дискретного синусоидального воздействия sin(ω*k*T), соответствует изображение вида (sin(ωT)*z)/(z²-2cos(ωT)*z+1);
• оригиналу, в виде дискретного косинусоидального воздействия cos(ω*k*T) , соответствует изображение вида (z*(z-cos(ωT)))/(z²-2cos(ωT)*z+1);
• оригиналу, в виде дискретного гармонического осциллятора e^j*ω*k*T=cos(ω*k*T)+j*sin(ω*k*T), соответствует изображение вида (z*(z-cos(ωT)))/(z²-2cos(ωT)*z+1) + j*(sin(ωT)*z)/(z²-2cos(ωT)*z+1) = (z(z-e^-j*ω*T))/(z²-2cos(ωT)*z+1).

№ 168
Импульсная характеристика дискретной или цифровой системы может быть определена:
• по известной переходной характеристике в соответствии с выражением g_k=h_k-h_k-1;
• обратным Z - преобразованием системной функции системы;
• как реакция на одиночный единичный импульс системы, находящейся в состоянии покоя.

№ 169
Разностное уравнение представляет собой в общем случае уравнение связи либо:
• сдвигов неизвестной дискретной функции;
• неизвестной дискретной функции и ее сдвигов или разностей.

№ 170
Порядок разностного уравнения определяется:
• разностью наивысшей и низшей степеней оператора сдвига.

№ 171
Начальные условия разностного уравнения дискретной или цифровой системы могут быть определены:
• по предельной теореме Z - преобразований о начальном значении дискретной функции оригинала;
• по исходному разностному уравнению, путем придания определенных значений номерам отсчетов;
• по функциональной схеме и известному входному воздействию (в простых случаях).

№ 172
Различают разностные уравнения:
• однородные и неоднородные;
• с постоянными и переменными коэффициентами;
• линейные и нелинейные;
• скалярные уравнения и системы уравнений.

№ 173
Однородная часть разностного уравнения определяет характеристическое уравнение при замене сдвигов неизвестной дискретной функции:
• соответствующей степенью переменной.

№ 174
Корни характеристического уравнения определяют:
• фундаментальную систему решений однородного разностного уравнения;
а условием независимости фундаментальной системы решений разностного уравнения является отличие от нуля:
• определителя Касорати..

№ 175
Корни характеристического уравнения для дискретных систем физически соответствуют:
• экспонентам частот собственных колебаний системы.

№ 176
Фундаментальная система решений однородного разностного уравнения соответствует:
• степенным функциям корней характеристического уравнения d_i^k, при различных корнях;
• независимому набору функций вида d_i^k, k*d_i^k, k²*d_i^k, ...k^m-1*d_i^k - для i - го корня кратности m.

№ 177
Определитель Касорати строится построчно:
• из сдвигов фундаментальных решений от 1 - го до n - го порядка.

№ 178
Согласно общей теории разностных уравнений, общее решение однородного разностного уравнения представляет собой:
• линейную суперпозицию постоянных и фундаментальных решений.

№ 179
Согласно общей теории разностных уравнений, частное решение однородного разностного уравнения находится путем определения постоянных общего решения, используя либо:
• начальные условия;
• независимые дополнительные условия.

№ 180
Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения представляет собой:
• линейную суперпозицию варьируемых постоянных и фундаментальных решений.

№ 181
Согласно методу Лагранжа, частное решение неоднородного разностного уравнения находится путем определения варьируемых постоянных общего решения, используя:
• наложение ограничений на рост порядка разностей;
• определяющую систему уравнений;
• либо начальные условия;
• либо независимые дополнительные условия.

№ 182
В общей теории разностных уравнений утверждается, что:
• общее решение неоднородного уравнения определяется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения; или с физической точки зрения:
• реакция на выходе дискретной динамической системы определяется суммой свободных колебаний системы обусловленных начальными условиями и вынужденных колебаний обусловленных внешним воздействием на систему;
• реакция на выходе дискретной динамической системы определяется суммой переходного процесса обусловленного начальными условиями и внешним воздействием и установившегося (стационарного) процесса обусловленного внешним воздействием.

№ 183
Система разностных уравнений представляет в общем случае совокупность уравнений связи:
• нескольких неизвестных функций одной независимой переменной и их разностей или сдвигов.

№ 184
Разностное уравнение n - го порядка может быть преобразовано в эквивалентную систему n разностных уравнений первого порядка путем:
• последовательной замены неизвестной функции и ее сдвигов до (n-1) - го порядка новыми переменными (функциями) той же независимой переменной;
• последовательной замены сдвигов неизвестной функции от нулевого до (n-1) - го порядка новыми переменными (функциями) той же независимой переменной.

№ 185
В качестве математической модели дискретной или цифровой цепи, устройства, системы во временной области, в общем случае, используется:
• система разностных уравнений.

№ 186
Разностное уравнение можно рассматривать как математическую модель обыкновенного дифференциального уравнения в котором:
• производные функций левой и правой частей заменены разностями соответствующих порядков;
• из соображений устойчивости алгоритма решения обычно используют обратные разности;
• после приведения подобных уравнение представляется относительно сдвигов неизвестной функции;
• начальные значения дифференциального уравнения преобразуются в начальные значения неизвестной дискретной функции и ее сдвигов;
• решение разностного уравнения выполняется аналитически либо численно по рекуррентной форме записи разностного уравнения.

№ 187
Численное решение разностного уравнения может быть основано на представлении разностного уравнения рекуррентным соотношением, при этом:
• текущее значение неизвестной дискретной функции выражается через ее предыдущие значения и значения известной функции определяющей входное воздействие системы;
• предыдущие значения неизвестной дискретной функции соответствуют начальным значениям разностного уравнения;
• начальные значения неизвестной функции и ее сдвигов могут быть определены из исходного уравнения при задании соответствующих значений аргументов;
• численное решение разностного уравнения представляется набором значений дискретной функции;
• аналитическое представление численного решения разностного уравнения можно получить в результате интерполяции или аппроксимации решения заданным набором базовых функций.

№ 188
Методы аналитического решения разностных уравнений:
• операторный;
• вариации произвольных постоянных (Лагранжа);
• Коши (представление решения в форме Коши);
• неопределенных коэффициентов;
• разделения переменных.

№ 189
Суть операторного метода решения разностного уравнения на основе Z - преобразований заключается в следующем:
• используя теорему о сдвиге функции оригинала с учетом начальных условий, переходим к уравнению связи изображений выходной реакции и входного воздействия;
• выражаем изображение выходной реакции;
• используя обратное Z - преобразование, находим оригинал выходной реакции, то есть решение разностного уравнения.

№ 190
В случае если дискретная система задана функциональной схемой (моделью), то суть операторного метода определения реакции на выходе сводится к следующему:
• выводу выражения системной (передаточной) функции;
• выражению изображения реакции;
• нахождению оригинала реакции (решения) обратным Z - преобразованием изображения.

№ 191
Метод вариации произвольных постоянных или метод Лагранжа применительно к решению разностных уравнений заключается в:
• записи общего решения неоднородного разностного уравнения в виде линейной суперпозиции варьируемых постоянных и фундаментальных решений однородного уравнения;
• формировании разрешающей системы Лагранжа путем наложения ограничений на рост порядка разностей варьируемых постоянных при нахождении разностей или сдвигов общего решения с целью подстановки в исходное уравнение;
• определении разностей варьируемых постоянных из разрешающей системы Лагранжа;
• определении варьируемых постоянных через обратный разностный оператор с точностью до постоянных суммирования;
• постоянные суммирования определяются из дополнительных независимых условий, например, начальных.

№ 192
Определяющая (разрешающая) система уравнений Лагранжа для разностных уравнений строится путем:
• наложения ограничений на рост порядка разностей варьируемых постоянных (неизвестных функций) выше первого;
• подстановки сдвигов или разностей общего решения, с учетом наложенных ограничений, в исходное уравнение;
и представляет собой:
• систему линейных алгебраических уравнений относительно разностей варьируемых постоянных.

№ 193
Представление решения разностного уравнения в форме Коши, в общем случае, заключается в:
• предварительном преобразовании исходного разностного уравнения n - го порядка в эквивалентную систему n разностных уравнений первого порядка путем введения новых переменных вместо неизвестной функции и ее разностей или сдвигов;
• использовании формулы Коши для выражения частного решения уравнения с использованием начальных условий и степенных функций от матрицы коэффициентов эквивалентной системы: причем:
• вектор функций (решений) соответствует исходной функции и ее сдвигам до (n-1) - го порядка;
• вектор правой части системы содержит в качестве последней компоненты правую часть исходного уравнения;
• матрица коэффициентов системы имеет вполне определенный вид, обусловленный заменой переменных.

№ 194
Для использования представления аналитического решения разностного уравнения в форме Коши в случае нулевых и кратных корней характеристического уравнения предлагается:
• положить корни различными и отличными от нуля;
• довести аналитическое решение до конца;
• осуществить предельный переход полученного решения к реальным значениям корней.

№ 195
Дискретный или цифровой фильтр представляет собой устройство или программу формирования выходной последовательности импульсов из входной последовательности импульсов, причем текущее значение импульса выходной последовательности формируется из:
• текущего импульса входной последовательности;
• взвешенных предыдущих импульсов входной последовательности;
• взвешенных предыдущих импульсов выходной последовательности;
то есть для реализации фильтра необходимо запоминать определенное число импульсов:
• входной последовательности;
• выходной последовательности.

№ 196
Дискретная или цифровая фильтрация основана на том факте, что выходная последовательность образуется из текущих и предыдущих отсчетов входной последовательности и предыдущих отсчетов выходной последовательности, в результате:
• форма выходной последовательности изменяется;
• спектр входного сигнала при прохождении через фильтр трансформируется;
при этом характеристики фильтра зависят:
• от числа и веса используемых предыдущих отсчетов входной последовательности;
• от числа и веса используемых предыдущих отсчетов выходной последовательности.

№ 197
Цифровые фильтры отличаются от дискретных фильтров тем, что:
• дискретные отсчеты входного сигнала представлены двоичной последовательностью импульсов определенной разрядности;
• суммирование, задержка и запоминание отсчетов производится цифровыми устройствами;
• тактовая частота обработки определяется разрядностью двоичной последовательности;
• запоминание значений предыдущих отсчетов производится в цифровом виде;
• отсчеты сигнала и весовые коэффициенты, как правило, представляются в нормализованном виде.

№ 198
Различают дискретные и цифровые фильтры:
• трансверсальные;
• рекурсивные.

№ 199
Трансверсальные дискретные и цифровые фильтры для образования отсчетов выходного сигнала используют:
• предыдущие отсчеты входного сигнала;
• взвешенные предыдущие отсчеты входного сигнала.

№ 200
Рекурсивные дискретные и цифровые фильтры для образования отсчетов выходного сигнала используют:
• предыдущие отсчеты выходного сигнала;
• предыдущие отсчеты входного сигнала;
• взвешенные отсчеты выходного сигнала;
• взвешенные предыдущие отсчеты входного сигнала.

№ 201
Принципиальное отличие рекурсивных фильтров от трансверсальных фильтров заключается в том, что рекурсивные фильтры:
• используют предыдущие отсчеты выходного сигнала;
• имеют каналы обратной связи с выхода на вход;
• запоминают предыдущие отсчеты выходного сигнала.

№ 202
Различают следующие методы синтеза цифровых фильтров:
• по частотной характеристике фильтра прототипа;
• по дифференциальному уравнению фильтра прототипа;
• по импульсной характеристике фильтра прототипа;
• оптимального синтеза - на основе алгоритмов оптимизации;
• субоптимального синтеза - с учетом специфики задачи фильтрации.

№ 203
Синтез дискретного или цифрового фильтра по заданной частотной характеристике прототипа подразумевает замену вида j*ω=(ln(z))/T и заключается в:
• замене в дробно рациональном выражении частотной характеристики переменной #math j$omega на дробно-линейное выражение вида 2/T * ((z-1) / (z+1)), которое является первым членом разложения функции ln(z) в ряд Тейлора;
• приведении подобных и представлении системной функции дробно рациональной функцией комплексной переменной z;
• коэффициенты числителя дробно-рационального представления системной функции определяют структуру трансверсальной части фильтра;
• коэффициенты знаменателя дробно-рационального представления системной функции определяют структуру рекурсивной части фильтра;
• для повышения точности реализации можно воспользоваться несколькими первыми членами разложения функции ln(z) в ряд Тейлора.

№ 204
Синтез дискретного или цифрового фильтра по заданному дифференциальному уравнению прототипа подразумевает переход к разностному уравнению и сводится к:
• замене производных прямой либо обратной конечной разностью;
• приведению подобных и выражению разностного уравнения;
• коэффициенты неоднородной (правой) части разностного уравнения определяют структуру трансверсальной части фильтра;
• коэффициенты однородной (левой) части разностного уравнения определяют структуру рекурсивной части фильтра;
• использование обратной разности при замене производных дает устойчивую реализацию фильтра.

№ 205
Синтез дискретного или цифрового фильтра по заданной импульсной характеристике прототипа подразумевает использование конечного либо бесконечного числа отсчетов характеристики и сводится:
• либо к почленному Z - преобразованию конечного числа отсчетов импульсной характеристики и получению, таким образом, выражения системной функции КИХ-фильтра;
• либо к представлению бесконечного числа отсчетов регулярным выражением суммы сходящейся геометрической прогрессии, и получению системной функции БИХ-фильтра Z - преобразованием этого выражения;
• коэффициенты числителя системной функции определяют структуру трансверсальной части фильтра;
• коэффициенты знаменателя системной функции определяют структуру рекурсивной части фильтра;
• реализация КИХ-фильтра имеет трансверсальную структуру, в отличие от реализации БИХ-фильтра, имеющей рекурсивную структуру;
#varn реализация КИХ - фильтра имеет рекурсивную структуру, в отличие от реализации БИХ - фильтра, имеющей трансверсальную структуру.

№ 206
При реализации цифрового фильтра по аналоговому прототипу необходимо учитывать, что частотная характеристика цифрового фильтра имеет периодический характер и ось частот в связи с этим деформируется:
• интервал частот аналогового прототипа 0<ω_a<∞ преобразуется в интервал частот цифрового фильтра -π/T<ω_d<π/T;
• взаимосвязь комплексных переменных непрерывного преобразования Лапласа и Z - преобразования имеет вид p=ln(z)/T≈(2/T)*((z-1)/(z+1));
• закон деформации оси частот из предыдущего выражения и обратного соотношения z=e^p*T=e^j*ω*T может быть представлен в виде ;
• на низких частотах, в силу того, что j*ω_d*T/2| ≈ tg (j*ω_d*T/2) частотные характеристики аналогового прототипа и цифрового фильтра практически совпадают, а на высоких частотах различие существенно;
• граничные частоты аналогового и цифрового фильтров связаны между собой соотношением j*ω_gra=2/T* tg ((j*ω_grd*T)/2).

№ 207
Удобный критерий устойчивости рекурсивного цифрового фильтра базируется на дробно линейном преобразовании переменной характеристического уравнения вида z=((w+1)/(w-1)), при этом:
• корни левой полуплоскости w исходного уравнения отображаются во внутрь единичной окружности плоскости z;
• мнимая ось плоскости w отображается в единичную окружность плоскости z;
• точка z=0 отображается в точку w=-1 плоскости w;
• расположение корней внутри единичной окружности плоскости z свидетельствует об устойчивости цифрового фильтра;
• наличие корней за пределами единичной окружности плоскости соответствует неустойчивому цифровому фильтру.

№ 208
Ошибки квантования и погрешности цифровых фильтров обусловлены:
• погрешностью реализации масштабирующих блоков;
• округлением текущего отсчета сигнала до ближайшего уровня;
• погрешностью реализации блоков задержки;
• представлением текущего отсчета сигнала двоичной последовательностью конечной разрядности;
• нестабильностью пороговых и цифровых элементов.

№ 209
Характеристики цифрового фильтра зависят также от:
• способа реализации (по требуемой частотной, переходной или импульсной характеристике);
• используемой разрядности для представления отсчетов сигнала;
• структурной реализации (каскадное построение, канонические структуры);
• используемой элементной базы (АЦП, ЦАП, пропорциональных звеньев, сумматоров);
• используемой нормировки значений коэффициентов и доступных арифметических операций.