дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Вычислительная математика
Мицель А.А.
(Кафедра АСУ)
Томск-2000

Указаны только правильные ответы, другие варианты можно узнать скачав файл из архива → Выч_мат.АСУ.

Тема 1. Теория погрешностей.
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации,отчеты на заказ

№ 1
Полная погрешность при использовании численных методов равна:
• сумме погрешностей модели, метода и округления результата.

№ 2
В числе 1,003508
• все цифры значащие.

№ 3
Число 0,001526 имеет абсолютную погрешность 0,7е-6. Определить, верна ли четвертая значащая цифра числа:
• в широком смысле.

№ 4
Округляя число 5,31507 до трех значащих цифр, получим:
• 5,32

№ 5
Приближенным числом называется:
• число, незначительно отличающееся от точного.

№ 6
Даны приближенные числа: а1=13,456; а2=567,234; а3=123,508 и их абсолютные погрешности: Δ1=0,03; Δ2=0,2; Δ3=0,01. Абсолютная погрешность алгебраической суммы этих чисел:
• <= 0,24.

№ 7
Даны приближенные числа: а1=13,456; а2=567,234; а3=123,508 и их абсолютные погрешности: Δ1=0,03; Δ2=0,2; Δ3=0,01. Относительная погрешность произведения этих приближенных чисел:
• >=0,24.

№ 8
Со сколькими знаками нужно взять число √21, чтобы относительная погрешность была не более 1% (в узком смысле). Указать наименьшее число знаков.
Ответ (2)

№ 9
Какова относительная погрешность корня третьей степени из числа а, если относительная погрешность этого числа δ=0,3.
Ответ (0.1)

№ 10
Устойчивым называется такой алгоритм, при реализации которого:
• Накопления погрешности не происходит.

№ 11
При измерении длины пути получен результат L=25.2 км с точностью до 2 м, а при измерении площади получен результат S=1500 м² с точностью до 30 м². Вычислить абсолютную и относительную погрешности (в процентах) обоих результатов. Ответ: Δ1=0.002; δ1=0.008; Δs=30; δs=2.

Тема 2. Методы поиска корней функции одной переменной.

№ 12
Число Eta называют корнем k-той кратности, если при x=Eta:
• обращаются в нуль функция f(x) и все ее производные до (k-1)-го порядка включительно.

№ 13
На отрезке [a,b] существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0, если:
• f(a)*f(b)<0.

№ 14
Методом половинного деления уточнить корень уравнения до трех верных знаков: f(x)=x4+2x3-x-1, лежащий на отрезке [0,5;1].
Ответ (0.867)

№ 15
Найти корень уравнения методом половинного деления с тремя верными знаками: f(x)=2x-cosx; на интервале #math [0,π/2]
Ответ (0.450)

№ 16
Найти методом хорд положительный корень с точностью до 0.002 f(x)=x3-0.2x2-0.2x-1.2 на интервале [1,2].
Ответ (1.198)

Тема 3. Методы линейной алгебры.

№ 17
Дана матрица:

-1 2 3
-2 4 8
-3 7 2
Получить нормальную матрицу.
14 31 25
31 69 52
25 52 77

№ 18
Укажите среди предложенных матриц симметричные:
1)
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
2)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
3)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
4)
2 3 3 3
3 3 3 3
3 3 2 3
3 3 3 1
Ответ (3, 4)

№ 19
Укажите среди предложенных матриц единичную:
1)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
3)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
4)
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 1
Ответ (1)

№ 20
Найдите определитель матрицы

1 2 3
4 5 6
7 8 9
методом Гаусса.
Ответ (0)

№ 21
Найдите определитель матрицы

3 4 5
1 2 3
8 7 1
методом Гаусса.
Ответ (-10)

№ 22
Вычислить определитель 3-го порядка, элементы которого заданы условием аij=min(i,j). Применить метод Гаусса.
Ответ (1)

№ 23
Вычислить элемент а11 обратной матрицы A-1. Использовать метод Гаусса.
A= 
1  2 -1
3  0  2
4 -2  5
Ответ (-1)

№ 24
Вычислить элемент а11 обратной матрицы A-1. Использовать метод Гаусса.
A= 
3 2 1
4 5 2
2 1 4
Ответ (0.75)

№ 25
Значения неизвестных величин при решении СЛАУ методом Гаусса находят:
• на этапе обратного хода.

№ 26
Сумма квадратов элементов каждой строки ортогональной матрицы равна:
• 1.

№ 27
Определитель ортогональной матрицы равен:
• 1 или -1.

№ 28
Укажите переопределенную систему уравнений:
• x1+x2=0; x1+5=15; x2+10=0

№ 29
Решите систему методом Гаусса. Результат запишите через запятую.
1. 7x1+2x2+3x3=15;
2. 5x1-3x2+2x3=15;
3. 10x1-11x2+5x3=36.
В ответ введите номер верного варианта.
Ответ (2, -1, 1)

№ 30
Идея метода наименьших квадратов состоит в:
• Минимизации суммы квадратов невязок.

№ 31
N-тый член геометрической прогрессии равен:
• an=a1*qn-1.

№ 32
Решить систему методом ортогонализации. Результат записать через запятую.
1. x1+x2+x3-3=0;
2. 2x1+x2+x3-4=0;
3. x1+3x2+x3=0.
Ответ (1, 1.5, 3.5)

№ 33
Основная идея метода Зейделя заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной величины xi
• учитываются значения (k+1)-го приближения величин x1, x2, ..., xi-1.

№ 34
Нормальная система вида Cx=d обладает следующими свойствами:
• матрица С - симметричная, положительно определена и диагональные элементы положительны.

№ 35
Собственные числа матрицы - это:
• корни характеристического уравнения.

№ 36
Поиск решения системы Ax=b эквивалентен:
• поиску минимума функции F(x)=F(x1,x2,...,xn), где F(x)=(1/2) xTAx-xTb.

№ 37
Необходимое и достаточное условие минимума функции F(x):
• grad F(x)=0.

№ 38
Решением системы Ax=b является:
• x=A-1*b.

№ 39
Собственные значения матрицы А некоторой СЛАУ равны: (1,2,3/4,4). Найдите знаменатель q геометрической прогрессии, со скоростью которой будет сходиться метод наискорейшего спуска.
Ответ (3/5)

№ 40
Поставьте в соответствие указанным методам решения СЛАУ формулы их итерационных процессов.
Методы:
1. покоординатного спуска;
2. наискорейшего спуска;
3. сопряженных градиентов.
Формулы:
1. xk+1=xk-ak*F´xk)
2. xk+1=xk-ak*pk
3. покоординатный спуск
Введите в ответ номера формул для соответствующих методов через пробелы.
Ответ (3 1 2)

№ 41
Вычислить собственные числа матрицы
A= 
 1 -3  3
-2 -6 13
-1 -4  8
 . Использовать метод Данилевского.
Ответ (1, 1, 1)

№ 42
Вычислить собственные числа матрицы
A= 
 0 1 0
-4 4 0
-2 1 2
 . Использовать метод Данилевского.
Ответ (2, 2, 2)

Тема 4. Интерполирование и численное дифференцирование функций.

№ 43
Пусть были найдены значения полинома P(xj) в точках xj∉ [a,b]. При этом функция f(x) задана на интервале [a,b]. Проведенная операция является:
• экстраполяцией.

№ 44
Найдите величину q для интерполяционной формулы Ньютона по следующим данным: x0=1; x1=1,5; x2=2.
Ответ (1)

№ 45
Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения S=f(t) представлен в виде таблицы:
t0123456
S02103068130222
Δ S2820386292 
Δ2 S612182430  
Δ3 S6666   
Δ4 S000    
Найти скорость V точки в момент t=3.5. Рекомендации: t0 =3. Использовать интерполяционную формулу Ньютона 3-го порядка.
Ответ (37.75)

№ 46
Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения S=f(t) представлен в виде таблицы:
t0123456
S02103068130222
Δ S2820386292 
Δ2 S612182430  
Δ3 S6666   
Δ4 S000    
Найти скорость V точки в момент t=3.5. Рекомендации: t0 =3. Использовать интерполяционную формулу Ньютона 3-го порядка.
Ответ (21)

№ 47
Пусть f(x)=√(1-x²), x∈ [-1; 1]. Аппроксимируйте функцию полиномом Чебышева 5-ой степени. Запишите найденные коэффициенты полинома в виде долей числа π через запятую.
Ответ (2/π, -8/3π, -32/15π)

№ 48
Задана функция в виде таблицы:
 x0x1x2x3x4x5
x123456
f(x)152155113201
Δ y416345888 
Δ2 y12182430  
Δ3 y666   
Вычислить f´ и f´´ с помощью формулы Ньютона 3-го порядка в точке x=2.
Ответ (9,.12)

№ 49
Задана функция в виде таблицы:
 x0x1x2x3x4x5
x123456
f(x)152155113201
Δ y416345888 
Δ2 y12182430  
Δ3 y666   
Вычислить f´ и f´´ с помощью формулы Ньютона 3-го порядка в точке x=1.5.
Ответ (3,.75,9)

№ 50
Подобрать аппроксимирующий полином 2-ой степени y=a0+a1x+a2x² для данных
x0.781.562.343.123.81
y2.501.201.122.254.28
В ответ записать целые части коэффициентов a0, a1, a2.
Ответ (5, -4, 1)

№ 51
Как изменятся коэффициенты aj полинома Чебышева Pj(t) при умножении полинома на число α?
• уменьшатся в α раз.

№ 52
Найти значения линейного полинома вида S(x)=3x-6 в точках x0=0, x1=2. В ответе записать значения через запятую.
Ответ (-6, 0)

№ 53
Найти значения линейного полинома вида S(x)=2x+11, в точках x0=0, x1=1. В ответе записать значения через запятую.
Ответ (11, 13)

№ 54
Коэффициенты b0, b1 параболического сплайна равны соответственно 5 и 17. Шаг сетки равен 2. Найти коэффициент C0.
Ответ (3)

№ 55
Присоединение новых слагаемых к ортогональной системе функций с коэффициентами Фурье:
• увеличивает точность аппроксимации.

№ 56
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке:
• [-1,1]

№ 57
Коэффициенты разложения функции F(x)=sin(x) в ряд по полиному Лежандра с нечетными номерами.
• не равны 0.

№ 58
Коэффициенты с нечетными номерами разложения функции F(x)=|x| в ряд по полиному Лежандра.
• равны 0.

№ 59
Полиномы Чебышева образуют на отрезке [-1,1] ортогональную систему полиномов с весом:
• (1-x²)-1/2

№ 60
Что принято называть некорректностью задачи дифференцирования:
• увеличение погрешности дифференцирования при уменьшении шага сетки.

№ 61
Регуляризацией дифференцирования по шагу называется:
• процедура выбора шага сетки в зависимости от погрешности измерения значений функции.

№ 62
Даны значения аргумента X={0,1,2,3,4}. Значения функции в этих точках Y(x)={1,2,3,4,5}. Найти коэффициенты аi линейного сплайна.
Ответ (1, 2, 3, 4, 5)

№ 63
Функция задана таблично:
x246
F(x)41636
Найти второй и третий коэффициенты аi параболического сплайна.
Ответ (16, 36)

№ 64
Найти коэффициенты аi кубического сплайна, если известно, что в точках X={x1,x2,x3,x4,x5}={0,1,2,3,4} функция Y(x)={1,2,9,16,23}. В ответ записать значение выражения: а12.
Ответ (2)

№ 65
Дана функция F(x), x∈ [a,b]. Как заменить аргумент функции x на новый (y), чтобы y∈ [-π, π]:
• y=-π+2π(x-a)/(b-a).

№ 66
Дана функция F(x), x∈ [0,1]. Замените аргумент функции x на новый (y), чтобы y∈ [-π, π]:
• y=-π+2πx.

№ 67
Дана функция F(x), x∈ [0,1]. Замените аргумент функции x на новый (y), чтобы y∈ [-1, 1]:
• y=2x-1.

№ 68
Функцию f(x)=|x| на отрезке [-1;1] аппроксимировать полиномом Лежандра 3-ой степени. В ответ записать коэффициенты полинома С0, С1, С2 через запятую, в виде десятичных дробей.
Ответ (1/2, 0, 5/8)

№ 69
Найти значение полинома Лежандра 3-го порядка в точке x=1.
• 1

Тема 5. Численное интегрирование.

№ 70
Численное вычисление интеграла функции одной переменной называется:
• квадратурой.

№ 71
Кубатурой называется:
• вычисление интеграла функции двух переменных.

№ 72
Шаг равномерной сетки вычисляется по формуле (b,a-границы, n-число узлов):
• h=(b-a)/(n-1).

№ 73
Найти коэффициенты Котеса Нi, если #math b=1, a=0, А0=2/3, А1=-1/3, А2=2/3. В ответ записать сумму коэффициентов Нi.
Ответ (1)

№ 74
Найти коэффициент Котеса Н2, если Н0=1/3, Н1=1/3. Ответ записать в виде обыкновенной дроби.
Ответ (1/3)

№ 75
Найти интеграл по формуле трапеций для функции, заданной таблично:
x00.10.20.30.40.5
y123456
Ответ (1.75)

№ 76
Найти интеграл по формуле прямоугольников для функции, заданной таблично:
n012345
x00.10.20.30.40.5
y123456
Ответ (1.5)

№ 77
Найти интеграл по формуле Симпсона для функции, заданной таблично:
n01234
x00.10.20.30.4
y11.21.31.41.5
Ответ (0.517)

№ 78
Найти интеграл по формуле трапеций для функции, заданной таблично:
x00.20.40.60.81
y123456
Ответ (3.5)

№ 79
Найти интеграл по формуле прямоугольников для функции, заданной таблично:
n012345
x00.20.40.60.81
y123456
Ответ (3)

№ 80
Найти интеграл по формуле Симпсона для функции, заданной таблично:
n01234
x00.20.40.60.8
y11.21.31.41.5
Ответ (1.33)

№ 81
Одним из признаков несобственного интеграла является:
• бесконечный интервал интегрирования.

№ 82
Функция 1/(x-1) имеет в точке x=1:
• разрыв 2-го рода.

№ 83
Функция (1/x) имеет в точке x=0 :
• разрыв 2-го рода.

№ 84
Найти правосторонний и левосторонний пределы функции f(x)=1/(1+21/x) в точке x=0. В ответе укажите сумму пределов.
Ответ (1)

Тема 6. Численные методы решения обыкновенных ДУ.

№ 85
Уравнение y´=y²+x+1 является:
• обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

№ 86
Укажите критерий останова метода последовательных приближений решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
• max| y(n)(x)-y(n-1)(x) |<ε.

№ 87
Приближенные методы решения обыкновенных ДУ позволяют:
• получить решение как предел y(x) некоторой последовательности yn(x), причём yn(x) выражается через элементарные функции или при помощи квадратур.

№ 88
Численные методы решения обыкновенных ДУ позволяют:
• вычислить приближённые значения искомого решения y(x) на некоторой сетке значений аргумента x.

№ 89
Метод Пикара решения обыкновенных ДУ вида y´=f(x,y) основан:
• на замене уравнения эквивалентным интегральном уравнением.

№ 90
Решить методом Рунге-Кутта 1-го порядка уравнение: y´=y+x; x∈ [0,1]; y(0)=0=y0; h=0.5. В ответ запишите сумму y0+y1+y2.
Ответ (0.25)

№ 91
Решить методом Рунге-Кутта 1-го порядка уравнение: y´=y+x+1; x∈ [0,1]; y(0)=0=y0; h=0.5. В ответ запишите сумму y0+y1+y2.
Ответ (2)

№ 92
Решить методом Рунге - Кутта 2-го порядка уравнение: y´=y+x; x∈ [0,1]; y(0)=0=y0; h=0.5. В ответ запишите y2.
Ответ (1)

№ 93
Решить методом Рунге - Кутта 2-го порядка уравнение: y´=y+x+1; x∈ [0,1]; y(0)=0=y0; h=0.5. В ответ запишите целую часть суммы y1+y2.
Ответ (2)

Тема 7. Линейные интегральные уравнения.

№ 94
Пусть x [c,d], s∈ [a,b]. Ядро уравнения Фредгольма K(x,s) задается:
• на прямоугольнике [a≤s≤b, c≤x≤d].

№ 95
При каких значениях |λ| сходится решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром K(x,s)=1/(5+x+s), x∈ [0,1]:
• |λ|<5.

№ 96
При каких значениях |λ| сходится решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром K(x,s)=cos(x+s); x∈ [0,π]:
• |λ|<1/π.

№ 97
При каких значениях |λ| сходится решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром K(x,s)=exp(-x-s), x∈ [0,1]:
• |λ|<1.

№ 98
Под неустойчивостью интегрального уравнения 1-го рода понимают:
• небольшие изменения в правой части ведут к существенным изменениям решения.

№ 99
При каких значениях |λ| сходится решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром K(x,s)=1/(3+x+s), x∈ [0,1]:
• |λ|<3.

№ 100
При каких значениях |λ| сходится решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром K(x,s)==sin(x+s), x∈ [-|π/2|,π/2]:
• |λ|<1/π.


на главную база по специальностям база по дисциплинам статьи