4.2 Гармонический анализ и синтез сигналов

Универсальность гармонического колебания заключается также в том, что любой периодический сигнал может быть составлен (в этом случае говорят: синтезирован) только из гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Раздел теории сигналов, который занимается разложением сигналов на гармонические составляющие, называется гармоническим анализом сигналов или Фурье-анализом. Основные положения этой теории заключаются в следующем.

Любой периодический сигнал с периодом Т может быть представлен суммированием определенного набора гармонических колебаний с круговыми частотами, равными ωn=nω1= =2πn/T, где n - номер гармоники (натуральное число). При этом гармонику с номером n = 1 называют основной гармоникой, а гармоники с номерами n > 1 - высшими гармониками. В общем случае количество таких гармоник может быть бесконечным. Сигнал, представленный суммой гармоник, может быть записан в виде:

   (4.6)

Коэффициенты an и bn выражения (4.6) определяются интегрированием сигнала на интервале времени, равном периоду, по правилам

   (4.7)

   (4.8)

   (4.9)

Представление периодического сигнала в виде набора гармонических составляющих называется спектром. Такое разложение периодического сигнала также называют рядом Фурье. Выражение (4.6) может быть представлено в другой форме:

   (4.10)

где амплитуда An< и фаза φn n-й гармоники определяются по правилу

   (4.11)

   (4.12)

Графическое представление спектра сигналов выполняют в виде набора вертикальных отрезков, начинающихся на оси абсцисс (на оси частот). При этом положение отрезка на оси абсцисс (от начала координат) отражает частоту соответствующей гармоники, а длина отрезка соответствует амплитуде этой гармоники.

Операция формирования сложного сигнала из набора гармоник называется синтезом сигнала. На практике для синтеза сигналов обычно используют не бесконечный ряд, а ограниченный набор гармоник (его называют усеченным рядом Фурье). Понятно, что если сигнал будет представлен неполным набором гармоник, его форма будет искажена. Одной из задач синтеза сигналов является формирование сигналов с допустимыми искажениями из ограниченного набора гармоник.

В качестве примера рассмотрим формирование сигнала, близкого к прямоугольному, из усеченного ряда Фурье. На рисунке 4.6 представлены сигналы, полученные суммированием первых гармоник, выбранных из полного ряда Фурье. На рисунке 4.6,а пунктиром изображен меандр (симметричный прямоугольный сигнал) m(t), сплошной линией - уровень первой гармоники a1(t), содержащейся в этом сигнале. На рисунке 4.6,б изображен спектр первой гармоники s1(f). Спектр гармонического (синусоидального) колебания содержит только одну составляющую на частоте f = f1 = 1/Т, где Т - период колебаний. Периоды исходного прямоугольного сигнала и его первой гармоники совпадают.

Рис. 4.6 Формирование прямоугольного сигнала из суммы первых гармоник: а), в), д) - временное представление первых гармоник меандра и их суммы; б), г), е) - спектральное представление соответствующих наборов гармоник

На рисунке 4.6,в пунктиром изображены первая и третья гармоники, содержащиеся в меандре, а сплошной линией - их сумма. Заметим, что у симметричных сигналов (в том числе и у меандра) все гармоники с четными номерами отсутствуют (точнее, их значения равны нулю). Спектры первых трех гармоник приведены на рисунке 4.6,г (уровень второй гармоники равен нулю). На рисунке 4.6,д приведены первые четыре ненулевые гармоники (то есть гармоники с номерами 1, 3, 5 и 7) и их сумма. На рисунке 4.6,е показаны их спектры.

На рисунке видно, что с увеличением количества гармоник форма синтезированного сигнала все более приближается к прямоугольной, а различие между прямоугольной волной и сигналом, образованным суммой гармонических составляющих, становится все меньше.

В заключение следует добавить, что в ряд Фурье можно разлагать только периодические сигналы, для анализа же непериодических сигналов используется аппарат интегралов Фурье.